Dê um exemplo algébrico de cada tipo de função.
(a) Função linear

Passo 1

O enunciado pede: dar um exemplo algébrico de uma função linear (apenas a letra (a) foi enviada).\n
Dados/condições fornecidas: nenhum número ou restrição adicional — só é necessário apresentar um exemplo algébrico e explicá-lo passo a passo.

Passo 2

Antes de dar o exemplo, é importante esclarecer o que se entende por “função linear”, porque há duas convenções que aparecem em provas:
  • Convenção escolar/elementar (a mais comum em questões de funções): “função linear” é a função do 1.º grau, que tem a forma geral
f(x)=ax+b,
onde a e b são constantes reais e a\neq 0 (às vezes permitem a=0, mas aí a função fica constante). Nesta convenção a presença do termo b (o coeficiente linear) é permitida.
  • Convenção de Álgebra Linear (mapas lineares): “função linear” significa um mapa que preserva soma e multiplicação por escalar, o que para funções reais de uma variável equivale à forma
f(x)=ax,
ou seja, b=0. Essa é uma noção mais restrita.
Vou usar a convenção elementar (função do 1.º grau \,f(x)=ax+b,) porque é a que normalmente aparece em exercícios básicos de funções e provas de cálculo/álgebra elementar. Se na prova o professor exigir explicitamente a noção de Álgebra Linear, então o caso b=0 é o correto — eu vou comentar isso mais adiante.

Passo 3

Apresentando a forma geral e explicando cada parte:
f(x)=ax+b.
  • Aqui x é a variável independente (o valor que escolho para entrar na função).\n
  • a é o coeficiente angular, também chamado inclinação ou declive; ele indica quanto a função cresce (ou decresce) quando x aumenta em uma unidade.\n
  • b é o coeficiente linear, também chamado de ordenada na origem; é o valor de f(x) quando x=0.\n
  • O domínio típico é \mathbb{R} (todos os reais) e a imagem também é \mathbb{R} quando a\neq 0.\n
    Propriedade importante (fácil de usar na prova): para quaisquer x_1\neq x_2,
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a,
ou seja, o quociente diferencial entre dois pontos é sempre a — isso mostra que o gráfico é uma reta com inclinação constante.

Passo 4

Escolhendo um exemplo concreto e simples (fácil de manipular na prova):
f(x)=2x-1.
Explico passo a passo como usar essa função na prova:
  • Calcular valor em pontos:
    • f(0)=2\cdot 0-1=-1. Então a ordenada na origem é -1.\n
    • f(1)=2\cdot 1-1=1.\n
    • f(2)=2\cdot 2-1=3.\n
      Esses três pares (0,-1),(1,1),(2,3) mostram pontos que estão sobre a reta do gráfico.\n
  • Verificar a inclinação usando a fórmula acima: \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{3-1}{1}=2,que é exatamente a=2. Isso confirma que a reta sobe 2 unidades no eixo y para cada aumento de 1 unidade no eixo x.\n
  • Raiz (onde cruza o eixo x): resolver f(x)=0: 2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.Logo o ponto de corte com o eixo x é \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).\n
  • Inversa (quando a\neq 0 a função é bijetiva \mathbb{R}\to\mathbb{R} e tem inversa): y=2x-1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y+1}{2},então f^{-1}(y)=\frac{y+1}{2}.Exemplo: f^{-1}(3)=\dfrac{3+1}{2}=2, que bate com f(2)=3.\n
    Esses cálculos são o tipo de coisa que a prova costuma pedir: avaliar a função, achar zero, explicar inclinação e inversa.

Passo 5

Observação sobre a outra convenção (Álgebra Linear): se o examinador pedir explicitamente uma “função linear” no sentido de aplicação linear (preservar soma e escalares), então o exemplo correto seria algo como
g(x)=2x
(ou seja, o mesmo f com b=0). Sempre confirme o significado com o enunciado da prova; se não houver indicação, o formato \,f(x)=ax+b é aceito na maioria das questões elementares.\n
Vai dar certo — comece decorando um exemplo simples como f(x)=2x-1 e os passos (avaliar, achar raiz, verificar inclinação) para responder rapidamente na prova.

Resposta

f(x)=2x-1

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