Dê um exemplo algébrico de cada tipo de função.
(b) Função por partes

Passo 1

O enunciado pede um exemplo algébrico de uma função por partes. Vou expor claramente o que isso significa e depois dar um exemplo concreto e didático para você usar na prova.
Informações relevantes do pedido:
  • Quer-se uma função definida por partes (ou por cases), ou seja, uma função cuja expressão muda conforme intervalos diferentes do domínio.
  • Preciso fornecer um exemplo algebraico e explicar como trabalhar com ele (avaliar, verificar continuidade, domínio, imagem etc.).

Passo 2

O que é uma função por partes (explicação didática)?
  • Uma função por partes é uma função f\) tal que o seu valor depende de qual intervalo o argumento \(x\) pertence. - Formalmente, escreve-se algo como: \[f(x)= \begin{cases} \text{expressão}_1, & \text{se } x \text{ pertence ao intervalo } I_1,\\[4pt] \text{expressão}_2, & \text{se } x \text{ pertence ao intervalo } I_2,\\[4pt] \vdots \end{cases}
  • Cada “expressão” é uma fórmula algébrica (reta, quadrática, constante, etc.) válida apenas no seu intervalo.
  • Na prova: para avaliar f(a)\] você primeiro determina em qual intervalo \(a está e então usa a expressão correspondente. Para estudar continuidade em um ponto de fronteira entre intervalos, calcule limite à esquerda, limite à direita e compare com o valor da função nesse ponto.]

Passo 3

Exemplo algébrico (a função por partes que usarei como exemplo):
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & \text{se } x \le 0,\\[4pt] 2x+1, & \text{se } 0 < x < 3,\\[4pt] 5, & \text{se } x \ge 3. \end{cases}
Este é um exemplo típico: peça quadrática à esquerda, linear no meio, constante à direita. Agora vou mostrar como usar essa função passo a passo, como se você estivesse na prova.]

Passo 4

Como avaliar f em pontos (passo a passo prático):
  • Para x=-2: como -2 \le 0, uso a primeira expressão x^{2}.
f(-2)=(-2)^{2}=4.
  • Para x=0: 0 \le 0 então ainda uso a primeira expressão.
f(0)=0^{2}=0.
  • Para x=1: 0<1<3 então uso a segunda expressão 2x+1.
f(1)=2\cdot 1+1=3.
  • Para x=3: 3 \ge 3 então uso a terceira expressão (constante).
f(3)=5.
  • Para x=4: 4\ge 3 uso a terceira expressão.
f(4)=5.
Regra prática: determine primeiro a qual caso x pertence; depois substitua.

Passo 5

Verificando continuidade nos pontos de fronteira ( x=0 e x=3) — método completo:
  • Continuidade em um ponto a exige \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).
  • No ponto x=0:
    • Limite pela esquerda: como para x<0 vale f(x)=x^{2},
    \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}x^{2}=0.
    • Limite pela direita: para x>0 próximo de zero usa-se f(x)=2x+1,
    \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(2x+1)=1.
    • Valor da função: f(0)=0 (do Passo 4).
    • Como 0 \neq 1, há discontinuidade (salto) em x=0.
  • No ponto x=3:
    • Limite pela esquerda: para x<3 próximo de 3 usa-se 2x+1,
    \lim_{x\to 3^-}f(x)=2\cdot 3+1=7.
    • Limite pela direita: para x>3 usa-se a constante 5,
    \lim_{x\to 3^+}f(x)=5.
    • Valor da função: f(3)=5.
    • Como 7 \neq 5, há discontinuidade (salto) em x=3 também.
Dica de prova: sempre calcule os dois limites laterais em pontos de troca de expressão; se eles coincidirem e igualarem f(a), é contínua ali; caso contrário é descontinuidade (salto, se ambos limites existem mas são diferentes).

Passo 6

Domínio e imagem (range) da função — razão e cálculo:
  • Domínio: cada parte está definida para valores reais nos fragmentos dados ( x\le 0, 0<x<3, x\ge 3), portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Imagem (range):
    • Para x\le 0, x^{2} toma valores [0,\infty) (o mínimo 0 em x=0, e cresce sem limite para x\to-\infty).
    • Para 0<x<3, 2x+1 varia entre valores estritamente maiores que 1 e estritamente menores que 7, isto é (1,7).
    • Para x\ge 3, f(x)=5 acrescenta o valor 5 (já contido em [0,\infty)).
    • União desses resultados dá a imagem total. Como (1,7) e \{5\} estão contidos em [0,\infty), a imagem final é
\text{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (como desenhar / reconhecer no exame):
  • Primeiro trecho: y=x^{2} para x\le 0 é a “meia parábola” à esquerda, terminando em (0,0).
  • Segundo trecho: y=2x+1 em 0<x<3 é uma reta crescente que passa perto de (0,1) (ponto não incluído) até chegar perto de (3,7) (também não incluído).
  • Terceiro trecho: y=5 para x\ge 3 é uma reta horizontal a partir de x=3 incluindo o ponto (3,5).
  • Nos pontos x=0 e x=3 haverá saltos (buracos + pontos) conforme calculado no Passo 5.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
  • Sempre identifique o intervalo onde está o x\) antes de substituir. - Para continuidade em pontos de fronteira: calcule \(\lim_{x\to a^-}\), \(\lim_{x\to a^+}\) e \(f(a)\). - Para resolver equações do tipo \(f(x)=k\): resolva cada expressão no seu intervalo e aceite apenas soluções que realmente pertençam ao intervalo correspondente. - Guarde exemplos simples: valor absoluto \(|x|=\begin{cases}-x,&x<0,\\\ x,&x\ge0.\end{cases} é um exemplo muito comum de função por partes.

Resposta

f(x)= \begin{cases} x^{2}, & \text{se } x \le 0,\\[4pt] 2x+1, & \text{se } 0 < x < 3,\\[4pt] 5, & \text{se } x \ge 3. \end{cases}]

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