Dê exemplo em cada caso.
Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, contínua em x_{0}=1 e descontínua em x_{1}=2.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que seja contínua em x_{0}=1 e descontínua em x_{1}=2. Vamos usar uma definição em partes (piecewise) para forçar descontinuidade em 2 sem afetar a continuidade em 1.

Passo 2

Definimos
f(x)= \begin{cases} x, & x\neq 2,\\\\ 0, & x=2. \end{cases}
Esta é a função identidade, exceto que em x=2 atribuímos o valor 0, criando um “salto” isolado.

Passo 3

Para verificar a continuidade em x_{0}=1, note que para todo x próximo de 1 (mas x\neq2) vale f(x)=x. Como a função identidade é contínua,
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x=1 \quad\text{e}\quad f(1)=1,
logo \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1) e f é contínua em 1.

Passo 4

Para x_{1}=2, temos
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}x=2,
porém f(2)=0. Como
\lim_{x\to2}f(x)=2\neq0=f(2),
a função é descontínua em 2.

Resposta

f(x)= \begin{cases} x, & x\neq 2,\\\\ 0, & x=2. \end{cases}

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