Dê exemplo em cada caso.
Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, que não seja contínua em x_{0}=1.
Passo 1
O enunciado pede para dar exemplos de funções f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que sejam discontinuas em x_{0}=1. Vamos ilustrar três tipos clássicos de descontinuidade em x=1:
Descontinuidade removível
Descontinuidade de salto (primeira espécie)
Descontinuidade essencial (segunda espécie)
Passo 2
Para a descontinuidade removível, construímos uma função que tem limite finito em x=1\) mas assume valor diferente nesse ponto. Por exemplo:
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-1}{x-1},&x\neq1,\\[6pt] 0,&x=1. \end{cases}
Para x\neq1\] temos \(\tfrac{x^{2}-1}{x-1}=x+1 e
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2\neq f(1)=0,
logo a descontinuidade em x=1 é removível.]
Passo 3
Para a descontinuidade de salto, basta escolher valores distintos para os limites laterais. Por exemplo:
Aqui \lim_{x\to1^-}g(x)=0 e \lim_{x\to1^+}g(x)=1,
portanto há um salto em x=1.
Passo 4
Para a descontinuidade essencial, podemos usar uma função que oscila cada vez mais rápido perto de x=1\). Por exemplo:
\[h(x)= \begin{cases} \sin\bigl(\tfrac{1}{x-1}\bigr),&x\neq1,\\\\ 0,&x=1. \end{cases}
Nesse caso não existe \lim_{x\to1}h(x)\] porque \(\sin\bigl(1/(x-1)\bigr) oscila entre -1 e 1 sem convergir, caracterizando descontinuidade de segunda espécie.