Exemplo 1: Calcule a área da região R limitada pelos gráficos das funções y=x+1 e y=x^{2}-1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y = x + 1
e
y = x^2 - 1.
O método é usar integral definida da função que está por cima menos a que está por baixo, entre os pontos de interseção. Precisamos então:
  1. Encontrar os pontos de interseção.
  2. Determinar qual função é a “de cima” e qual é a “de baixo” no intervalo.
  3. Montar e calcular a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos
x + 1 = x^2 - 1
que leva a
x^2 - x - 2 = 0.
Resolvendo a equação quadrática, fatoramos
(x - 2)(x + 1) = 0
logo
x = 2\quad\text{ou}\quad x = -1.
São os limites de integração.

Passo 3

Em qualquer x entre -1 e 2, por exemplo em x=0, temos
x+1 = 1 \quad\text{e}\quad x^2 - 1 = -1,
logo a reta y=x+1 está acima da parábola y=x^2-1. Assim, a área é
\text{Área}(R) = \int_{-1}^{2}\bigl[(x+1)-(x^2-1)\bigr]\,dx.Á

Passo 4

Simplificamos o integrando:
(x+1)-(x^2-1) = -x^2 + x + 2.
Uma antiderivada é
F(x) = \int(-x^2 + x + 2)\,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x.

Passo 5

Avaliamo-s F(2) e F(-1):
F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2\cdot2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{10}{3},
F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2+3-12}{6} = -\frac{7}{6}.
Então
\text{Área}(R) = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \Bigl(-\frac{7}{6}\Bigr) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.Á

Resposta

A área da região R é \displaystyle \frac{9}{2}.

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