EXEMPLO 7. Calcule
.
Solução
é uma função ímpar, pois,
Pelo exemplo anterior,
Solução
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são simétricos em relação a zero: de
a .
O que a questão quer: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades importantes (passo-a-passo e com muita calma).
Definição de função par: uma função
é par se, para todo
em seu domínio,
Definição de função ímpar: uma função
é ímpar se, para todo
em seu domínio,
Propriedade útil de integrais em intervalos simétricos:
- Se
é par, então
- Se
é ímpar, então
Vou provar a segunda propriedade (essa prova é curta e é a ferramenta chave aqui).
Passo 3
Prova da propriedade para funções ímpares (detalhada, para usar na hora da prova):
Seja
ímpar. Escrevemos a integral como soma das duas metades:
Na primeira integral fazemos a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Como
é ímpar,
. Portanto
Somando com a segunda parte da integral original:
Isso mostra por que toda função ímpar integrada num intervalo simétrico
dá zero.
Passo 4
Agora verifiquemos a paridade da função dada
passo a passo.
Primeiro note que a função
é uma função par. De fato,
porque
(potência par).
A função
é ímpar, já que
Mais formalmente,
satisfaz
.
Passo 5
Regra sobre produto de paridades (útil e simples):
- produto de par com par → par;
- produto de ímpar com ímpar → par;
- produto de par com ímpar → ímpar.
Aqui
é produto de
(ímpar) por
(par). Logo
é ímpar. Vamos mostrar diretamente com álgebra para não restar dúvidas:
Portanto
é ímpar.
Passo 6
Aplicamos a propriedade provada no Passo 3: se
é ímpar, então para qualquer
No nosso caso
. Como já demonstramos que
é ímpar e os limites são simétricos
e
, concluímos imediatamente que a integral vale zero.
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo semelhante e rápido:
porque
é ímpar. Já
porque
é par. Essas verificações rápidas ajudam muito na prova para economizar tempo: sempre cheque a paridade antes de tentar antiderivadas.
Passo 8
Resumo prático para a prova (receita de bolso):
- Olhe se o integrando é par ou ímpar (use potências, raízes, produtos).
- Se ímpar e intervalo simétrico
→ integral = . - Se par e intervalo simétrico → dobre a integral de
até . - Só calcule antiderivada quando nenhuma dessas propriedades simplificar o trabalho.