EXEMPLO 7. Calcule \int_{-1}^{1} x \sqrt{x^{4}+3} d x.
Solução
f(x)=x \sqrt{x^{4}+3} é uma função ímpar, pois,
f(-x)=-x \sqrt{(-x)^{4}+3}=-\left(x \sqrt{x^{4}+3}\right)=-f(x)
Pelo exemplo anterior,
\int_{-1}^{1} x \sqrt{x^{4}+3} d x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1} x \sqrt{x^{4}+3}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=x \sqrt{x^{4}+3}.
  • Os limites de integração são simétricos em relação a zero: de -1 a 1.
O que a questão quer: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades importantes (passo-a-passo e com muita calma).
Definição de função par: uma função g é par se, para todo x em seu domínio,
g(-x)=g(x).
Definição de função ímpar: uma função h é ímpar se, para todo x em seu domínio,
h(-x)=-h(x).
Propriedade útil de integrais em intervalos simétricos:
  • Se g é par, então
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
  • Se h é ímpar, então
\int_{-a}^{a} h(x)\,dx = 0.
Vou provar a segunda propriedade (essa prova é curta e é a ferramenta chave aqui).

Passo 3

Prova da propriedade para funções ímpares (detalhada, para usar na hora da prova):
Seja h ímpar. Escrevemos a integral como soma das duas metades:
\int_{-a}^{a} h(x)\,dx = \int_{-a}^{0} h(x)\,dx + \int_{0}^{a} h(x)\,dx.
Na primeira integral fazemos a substituição u=-x. Então du=-dx. Quando x=-a temos u=a; quando x=0 temos u=0. Assim
\int_{-a}^{0} h(x)\,dx = \int_{a}^{0} h(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} h(-u)\,du.
Como h é ímpar, h(-u)=-h(u). Portanto
\int_{-a}^{0} h(x)\,dx = \int_{0}^{a} (-h(u))\,du = -\int_{0}^{a} h(u)\,du.
Somando com a segunda parte da integral original:
\int_{-a}^{a} h(x)\,dx = -\int_{0}^{a} h(u)\,du + \int_{0}^{a} h(x)\,dx = 0.
Isso mostra por que toda função ímpar integrada num intervalo simétrico [-a,a] dá zero.

Passo 4

Agora verifiquemos a paridade da função dada f(x)=x\sqrt{x^{4}+3} passo a passo.
Primeiro note que a função g(x)=\sqrt{x^{4}+3} é uma função par. De fato,
g(-x)=\sqrt{(-x)^{4}+3}=\sqrt{x^{4}+3}=g(x),
porque (-x)^{4}=x^{4} (potência par).
A função x é ímpar, já que
(x)(-1) = -x \quad\Rightarrow\quad ( -x ) = -x = - (x).
Mais formalmente, p(x)=x satisfaz p(-x)=-p(x).

Passo 5

Regra sobre produto de paridades (útil e simples):
  • produto de par com par → par;
  • produto de ímpar com ímpar → par;
  • produto de par com ímpar → ímpar.
Aqui f(x) é produto de p(x)=x (ímpar) por g(x)=\sqrt{x^{4}+3} (par). Logo f é ímpar. Vamos mostrar diretamente com álgebra para não restar dúvidas:
f(-x)=(-x)\sqrt{(-x)^{4}+3}=(-x)\sqrt{x^{4}+3}=-\bigl(x\sqrt{x^{4}+3}\bigr)=-f(x).
Portanto f é ímpar.

Passo 6

Aplicamos a propriedade provada no Passo 3: se f é ímpar, então para qualquer a>0
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
No nosso caso a=1. Como já demonstramos que f é ímpar e os limites são simétricos -1 e 1, concluímos imediatamente que a integral vale zero.

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo semelhante e rápido: \int_{-2}^{2} x^{3}\,dx=0 porque x^{3} é ímpar. Já \int_{-2}^{2} x^{2}\,dx=2\int_{0}^{2} x^{2}\,dx porque x^{2} é par. Essas verificações rápidas ajudam muito na prova para economizar tempo: sempre cheque a paridade antes de tentar antiderivadas.

Passo 8

Resumo prático para a prova (receita de bolso):
  1. Olhe se o integrando é par ou ímpar (use potências, raízes, produtos).
  2. Se ímpar e intervalo simétrico [-a,a] → integral = 0.
  3. Se par e intervalo simétrico → dobre a integral de 0 até a.
  4. Só calcule antiderivada quando nenhuma dessas propriedades simplificar o trabalho.

Resposta

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