EXEMPLO 8. Calcule \int_{-1}^{0} x^{2} \sqrt{x+1} d x\). Solução Aqui é conveniente a mudança \(u=x+1\) \(\begin{cases}u=x+1 & ; d u=d x \\\ x=-1 & ; u=0 \\\ x=0 & ; u=1 .\end{cases}
De u=x+1, segue x=u-1. Então,
\int_{-1}^{0} x^{2} \sqrt{x+1} d x=\int_{0}^{1}(u-1)^{2} \sqrt{u} d u=\int_{0}^{1}\left(u^{2}-2 u+1\right) u^{\frac{1}{2}} d u=\int_{0}^{1}\left(u^{\frac{5}{2}}-2 u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}}\right) d u
Assim,
\int_{-1}^{0} x^{2} \sqrt{x+1} d x=\left[\frac{u^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}-2 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{16}{105}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • O integrando é x^{2}\sqrt{x+1}.
  • Os limites de integração são x=-1 (inferior) e x=0 (superior).
  • A presença de \sqrt{x+1} sugere que uma mudança de variável que torne essa raiz num potência simples é conveniente.

Passo 2

Escolhemos a substituição u=x+1 porque transforma \sqrt{x+1} numa potência simples de u. Definimos:
u=x+1,\qquad du=dx.
Também trocamos os limites usando u=x+1:
\text{quando }x=-1\Rightarrow u=0,\qquad \text{quando }x=0\Rightarrow u=1.

Passo 3

Expressamos x em função de u para substituir todo o integrando:
x=u-1.
Então
x^{2}=(u-1)^{2}.
Substituindo na integral e usando du=dx e os novos limites 0 a 1, obtemos
\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx=\int_{0}^{1} (u-1)^{2}\sqrt{u}\,du.

Passo 4

Expandimos (u-1)^{2} e multiplicamos por \sqrt{u}=u^{1/2}. Primeiro
(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1.
Multiplicando por u^{1/2} resulta
(u^{2}-2u+1)u^{1/2}=u^{2+\frac{1}{2}}-2u^{1+\frac{1}{2}}+u^{\frac{1}{2}}=u^{\frac{5}{2}}-2u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{1}\left(u^{\frac{5}{2}}-2u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}}\right)du.

Passo 5

Aplicamos a regra básica de integração de potências: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Usando isso termo a termo:
\int u^{\frac{5}{2}}du=\frac{u^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}=\frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}},
\int u^{\frac{3}{2}}du=\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}},
\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}.
Lembrando do fator -2 no segundo termo, a primitiva do integrando é
F(u)=\frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}}-2\cdot\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} =\frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}}-\frac{4}{5}u^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}.

Passo 6

Agora avaliamos F(u) entre u=0 e u=1:
\int_{0}^{1}\left(u^{\frac{5}{2}}-2u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}}\right)du =F(1)-F(0).
Calculando F(1):
F(1)=\frac{2}{7}\cdot 1^{\frac{7}{2}}-\frac{4}{5}\cdot 1^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}} =\frac{2}{7}-\frac{4}{5}+\frac{2}{3}.
E F(0)=0 porque todas as potências de u se anulam em 0.

Passo 7

Somamos as frações \dfrac{2}{7}-\dfrac{4}{5}+\dfrac{2}{3}. O denominador comum é 105. Convertendo:
\frac{2}{7}=\frac{30}{105},\qquad -\frac{4}{5}=-\frac{84}{105},\qquad \frac{2}{3}=\frac{70}{105}.
Somando:
\frac{30-84+70}{105}=\frac{16}{105}.
Portanto a integral vale \dfrac{16}{105}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{105}

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