EXEMPLO 8. Calcule
De
, segue
. Então,
Assim,
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas importantes:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A presença de
sugere que uma mudança de variável que torne essa raiz num potência simples é conveniente.
Passo 2
Escolhemos a substituição
porque transforma
numa potência simples de
. Definimos:
Também trocamos os limites usando
:
Passo 3
Expressamos
em função de
para substituir todo o integrando:
Então
Substituindo na integral e usando
e os novos limites
a
, obtemos
Passo 4
Expandimos
e multiplicamos por
. Primeiro
Multiplicando por
resulta
Portanto a integral fica
Passo 5
Aplicamos a regra básica de integração de potências: para
,
Usando isso termo a termo:
Lembrando do fator
no segundo termo, a primitiva do integrando é
Passo 6
Agora avaliamos
entre
e
:
Calculando
:
E
porque todas as potências de
se anulam em
.
Passo 7
Somamos as frações
. O denominador comum é
. Convertendo:
Somando:
Portanto a integral vale
.