Exemplo 7: Calcule as integrais.
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{36+x^{2}}} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{36+x^{2}}}\,dx.
Este tipo de integral com \sqrt{a^{2}+x^{2}} sugere usar a substituição hiperbólica
x = 6\operatorname{sinh} t,
pois aí \sqrt{36+x^{2}}=6\operatorname{cosh} t.

Passo 2

Fazendo x=6\operatorname{sinh} t temos
dx = 6\operatorname{cosh} t\,dt, \qquad \sqrt{36+x^{2}} = 6\operatorname{cosh} t,
e
x^{2} = 36\operatorname{sinh}^{2}t.
Substituindo na integral,
\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{36+x^{2}}}\,dx = \int \frac{6\operatorname{cosh} t\,dt}{\bigl(36\operatorname{sinh}^{2}t\bigr)\,(6\operatorname{cosh} t)} = \int \frac{6\operatorname{cosh} t}{216\,\operatorname{sinh}^{2}t\,\operatorname{cosh} t}\,dt = \frac{1}{36}\int \frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos que \frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}t}=\csch^{2}t e
\int \csch^{2}t\,dt = -\coth t + C.
Portanto
\frac{1}{36}\int \csch^{2}t\,dt = -\frac{1}{36}\,\coth t + C.

Passo 4

Voltamos à variável x. Como
\operatorname{sinh} t = \frac{x}{6} \quad\text{e}\quad \coth t = \frac{\operatorname{cosh} t}{\operatorname{sinh} t} = \frac{\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}}{\operatorname{sinh} t} = \frac{\sqrt{36+x^{2}}/6}{x/6} = \frac{\sqrt{36+x^{2}}}{x},
temos
-\frac{1}{36}\,\coth t + C = -\frac{1}{36}\,\frac{\sqrt{36+x^{2}}}{x} + C.

Resposta

\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{36+x^{2}}}\,dx = -\frac{\sqrt{36+x^{2}}}{36\,x} + C.

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