Exemplo 7: Calcule as integrais.
\int \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{x} d x=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica para expressões do tipo \sqrt{x^2 - a^2}. Vamos usar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 5\operatorname{sec}\theta,\quad dx = 5\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}-25} = \sqrt{25\operatorname{sec}^2\theta -25} = 5\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{x}\,dx = \int \frac{5\tan\theta}{5\operatorname{sec}\theta}\;\bigl(5\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta\bigr) = \int 5\,\tan^2\theta\,d\theta.
E como \tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1,
\int 5\,\tan^2\theta\,d\theta = 5\int (\operatorname{sec}^2\theta - 1)\,d\theta.

Passo 4

Integramos usando \int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = \tan\theta e \int 1\,d\theta = \theta:
5\int (\operatorname{sec}^2\theta - 1)\,d\theta = 5\bigl(\tan\theta - \theta\bigr) + C.

Passo 5

Voltando a x: \tan\theta = \frac{\sqrt{x^2-25}}{5} e \theta = \arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{5}\bigr).
Logo,
5\bigl(\tan\theta - \theta\bigr) = 5\frac{\sqrt{x^2-25}}{5} - 5\,\arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{5}\bigr) = \sqrt{x^2-25} - 5\,\arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{5}\bigr).

Resposta

\int \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{x}\,dx = \sqrt{x^2 - 25}\;-\;5\,\arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{5}\bigr)\;+\;C.

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