Exemplo 1. Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função que está sendo integrada é
. - É uma integral indefinida (não há limites), então a resposta deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (motivação para o método): a parte
é uma função composta cujo “interno” é
. Note que a derivada desse interno é
Como o fator
aparece multiplicando, isso é um forte indício de que podemos usar a substituição (método de mudança de variável). A ideia da substituição é transformar a integral em uma forma mais simples trocando a variável
por uma nova variável
que seja exatamente o interno da função composta.
Passo 3
Fazer a substituição:
definimos
Agora calculamos o diferencial de
:
Portanto o produto
que aparece na integral é exatamente
. Assim a integral em
se transforma em uma integral em
:
Passo 4
Integrar em
usando a regra da potência para integrais: se
então
Aqui
, logo
Explicando a fórmula: o expoente
passa a ser
no numerador e divide pelo novo expoente
; o
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
(desfazer a substituição): lembrando que
, substitui-se de volta:
Esse é o primitivo procurado. Lembrete: sempre acrescentar a constante
em integrais indefinidas.
Passo 6
Checagem rápida (derivando para verificar): derivando
pela regra da cadeia obtém-se
que é exatamente o integrando original. Logo a resposta está correta.
Passo 7
Comentário final e generalização (útil para a prova): sempre que tiver uma integral da forma
pode-se usar
e obtemos
No caso específico,
e
, por isso a técnica funcionou direto.