Exemplo 1. Calcule as seguintes integrais:
\int\left(x^{2}+1\right)^{50} \cdot 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1\right)^{50}\cdot 2x\,dx.
Informações dadas:
  • A função que está sendo integrada é \left(x^{2}+1\right)^{50}\cdot 2x.
  • É uma integral indefinida (não há limites), então a resposta deve conter uma constante de integração \,C.

Passo 2

Observação útil (motivação para o método): a parte \left(x^{2}+1\right)^{50} é uma função composta cujo “interno” é \,x^{2}+1. Note que a derivada desse interno é
\frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)=2x.
Como o fator 2x aparece multiplicando, isso é um forte indício de que podemos usar a substituição (método de mudança de variável). A ideia da substituição é transformar a integral em uma forma mais simples trocando a variável x por uma nova variável u que seja exatamente o interno da função composta.

Passo 3

Fazer a substituição:
definimos u = x^{2}+1.
Agora calculamos o diferencial de u:
du = \frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)\,dx = 2x\,dx.
Portanto o produto 2x\,dx que aparece na integral é exatamente du. Assim a integral em x se transforma em uma integral em u:
\int\left(x^{2}+1\right)^{50}\cdot 2x\,dx = \int u^{50}\,du.

Passo 4

Integrar em u usando a regra da potência para integrais: se n\neq -1 então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=50, logo
\int u^{50}\,du = \frac{u^{51}}{51}+C.
Explicando a fórmula: o expoente n passa a ser n+1 no numerador e divide pelo novo expoente n+1; o C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x (desfazer a substituição): lembrando que u=x^{2}+1, substitui-se de volta:
\frac{u^{51}}{51}+C = \frac{\left(x^{2}+1\right)^{51}}{51}+C.
Esse é o primitivo procurado. Lembrete: sempre acrescentar a constante \,C em integrais indefinidas.

Passo 6

Checagem rápida (derivando para verificar): derivando \dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{51}}{51} pela regra da cadeia obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{51}}{51}\right) = \frac{1}{51}\cdot 51\left(x^{2}+1\right)^{50}\cdot 2x = 2x\left(x^{2}+1\right)^{50},
que é exatamente o integrando original. Logo a resposta está correta.

Passo 7

Comentário final e generalização (útil para a prova): sempre que tiver uma integral da forma
\int \left(f(x)\right)^{n}\cdot f'(x)\,dx
pode-se usar u=f(x) e obtemos
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No caso específico, f(x)=x^{2}+1 e f'(x)=2x, por isso a técnica funcionou direto.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{2}+1\right)^{51}}{51}+C

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