Exemplo 1. Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo; isto é, encontrar uma função cuja derivada seja o integrando:
Informações dadas: o integrando é o produto de
por
. O objetivo é encontrar a primitiva (antiderivada) dessa função, adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Observação padrão: quando vemos uma exponencial
multiplicada por
, a primitiva é simplesmente
. Aqui podemos usar a substituição simples para tornar isso explícito.
Fazer a substituição
Agora calculemos o diferencial
. Derivando
em relação a
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Usando a substituição e o diferencial, substituímos na integral original. Como
e
, tem-se
Isto simplificou a integral para uma forma padrão que conhecemos bem.
Passo 4
Integral padrão: a antiderivada de
em relação a
é
, pois a derivada de
é
. Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
. Assim a primitiva em termos de
é
Passo 6
Verificação (sempre útil na prova): calcule a derivada de
:
que coincide com o integrando original. Logo a solução está correta.
Passo 7
Dica rápida para a prova: reconhecer o padrão salva tempo. Se a integral tem a forma
, então a primitiva é
, onde
é uma primitiva de
. Exemplo paralelo:
.