Exemplo 1. Calcule as seguintes integrais:
\int e^{3 x+1} \cdot 3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo; isto é, encontrar uma função cuja derivada seja o integrando:
\int e^{3x+1}\cdot 3 \, dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de 3 por e^{3x+1}. O objetivo é encontrar a primitiva (antiderivada) dessa função, adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Observação padrão: quando vemos uma exponencial e^{g(x)} multiplicada por g'(x), a primitiva é simplesmente e^{g(x)}. Aqui podemos usar a substituição simples para tornar isso explícito.
Fazer a substituição
u = 3x+1.
Agora calculemos o diferencial du. Derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=3.
Multiplicando ambos os lados por dx obtemos
du = 3\,dx.

Passo 3

Usando a substituição e o diferencial, substituímos na integral original. Como u=3x+1 e du=3\,dx, tem-se
\int e^{3x+1}\cdot 3 \, dx = \int e^{u}\, du.
Isto simplificou a integral para uma forma padrão que conhecemos bem.

Passo 4

Integral padrão: a antiderivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, pois a derivada de e^{u} é e^{u}. Portanto,
\int e^{u}\, du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=3x+1. Assim a primitiva em termos de x é
e^{u}+C = e^{3x+1}+C.

Passo 6

Verificação (sempre útil na prova): calcule a derivada de e^{3x+1}+C:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x+1}+C\bigr)=3e^{3x+1},
que coincide com o integrando original. Logo a solução está correta.

Passo 7

Dica rápida para a prova: reconhecer o padrão salva tempo. Se a integral tem a forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, então a primitiva é F(g(x))+C, onde F é uma primitiva de f. Exemplo paralelo: \int \cos(2x)\cdot 2\,dx=\sin(2x)+C.

Resposta

e^{3x+1}+C

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