Exemplo 3.0.1. O conjunto
em
é aberto. De fato, se
é um ponto qualquer de
considere
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um conjunto aberto em
. Lembrando que, por definição, um subconjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta
está inteiramente contida em
.
Passo 2
Seja
um ponto arbitrário de
. Então
e
. Definimos
logo
. Nossa meta é mostrar que
Passo 3
Considere um ponto qualquer
em
. Então
Em particular,
e de modo análogo
Portanto
satisfaz
e
, ou seja,
. Concluímos
o que mostra que em todo ponto de
existe uma bola aberta totalmente contida em
.