Exemplo 3.0.1. O conjunto D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0, y>0\right\} em \mathbb{R}^{2} é aberto. De fato, se (a, b) é um ponto qualquer de D considere 0<r \leq \min \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0,\;y>0\}
é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2. Lembrando que, por definição, um subconjunto U\subset\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo ponto P\in U, existe um raio r>0 tal que a bola aberta
B(P,r) = \{Q\in\mathbb{R}^2 : \|Q-P\|<r\}
está inteiramente contida em U.

Passo 2

Seja (a,b) um ponto arbitrário de D. Então a>0 e b>0. Definimos
r = \min\{a,\,b\}\,,
logo r>0. Nossa meta é mostrar que
B\bigl((a,b),\,r\bigr)\subset D.

Passo 3

Considere um ponto qualquer (x,y) em B((a,b),r). Então
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}\;<\;r.
Em particular,
|x - a| < r \le a \quad\Longrightarrow\quad x > a - |x - a| > a - a = 0,
e de modo análogo
|y - b| < r \le b \quad\Longrightarrow\quad y > 0.
Portanto (x,y) satisfaz x>0 e y>0, ou seja, (x,y)\in D. Concluímos
B\bigl((a,b),r\bigr)\subset D,
o que mostra que em todo ponto de D existe uma bola aberta totalmente contida em D.

Resposta

D é aberto em \mathbb{R}^2.

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