Exemplo 3.0.3. O conjunto D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x \leq 4 ; 1<y \leq 3\right\} não é aberto, pois não é possível traçar uma bola aberta centrada no ponto (1,2) \in D e contida em D.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 1 \le x \le 4,\;1<y\le 3\}
e afirma que D não é aberto porque não se pode encontrar uma bola aberta centrada em (1,2)\in D inteiramente contida em D. O conteúdo é a definição de conjunto aberto em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrando a definição, um conjunto A\subset\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo ponto p\in A, existe \varepsilon>0 tal que
B(p,\varepsilon)=\{q\in\mathbb{R}^2:\|q-p\|<\varepsilon\}\subset A.

Passo 3

Escolhemos o ponto p=(1,2), que pertence a D pois 1\le1\le4 e 1<2\le3. Seja \varepsilon>0 qualquer. Definimos
q = \bigl(1 - \tfrac{\varepsilon}{2},\,2\bigr).
Então
\|q-p\| = \bigl\|(\!1-\tfrac{\varepsilon}{2},2)-(1,2)\bigr\| = \tfrac{\varepsilon}{2} <\varepsilon,
logo q\in B(p,\varepsilon). Porém a primeira coordenada de q é
x_q = 1 - \tfrac{\varepsilon}{2} < 1,
de modo que q\notin D. Assim nenhuma bola centrada em p fica contida em D.

Resposta

O conjunto D não é aberto.

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