(3) Dê exemplo de um conjunto limitado
tal que não existam
.
Passo 1
O que o enunciado pede: dar um exemplo de um conjunto limitado
tal que não existam
com
.
Informações relevantes dadas/implicadas:
- Preciso escolher um conjunto
que seja limitado (ou seja, contido em algum intervalo finito). - A definição de
que vou usar é
o supremo das distâncias entre pontos de
.
- O objetivo é que esse supremo não seja atingido por nenhum par
.
Passo 2
Escolha do exemplo: vou propor o conjunto aberto
. Esse é um candidato natural porque é limitado (está contido em
) e tem pontos arbitrariamente próximos de
e de
, o que sugere que a maior distância possível entre pontos de
é
mas os extremos
e
não pertencem a
, então talvez a distância
não seja atingida.
Passo 3
Vou lembrar o que significa supremum e por que isso importa aqui. Para um conjunto
,
é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. Pode acontecer que
pertença a
(então é máximo) ou que não pertença (então é apenas supremo). No nosso caso queremos que
seja um valor que não seja igual a
para nenhum par
.
Passo 4
Mostro primeiro que para
as distâncias entre quaisquer dois pontos valem sempre menos que
, portanto
é uma cota superior do conjunto de distâncias. De fato, se
então
e
, logo
ou seja
Portanto todo elemento do conjunto
é menor que
, então
.
Passo 5
Agora mostro que
, o que combinado com o passo anterior dará
. Para isso construo pares de pontos cuja distância se aproxima de
. Tome, por exemplo, para cada
os pontos
Então
Como
quando
, concluímos que o supremo das distâncias é pelo menos
. Assim
Passo 6
Finalmente, mostro que nenhum par
satisfaz
. Isso é imediato a partir da desigualdade do passo 4: para quaisquer
tem-se
. Portanto não existe par em
cuja distância seja exatamente
.
Passo 7
Conclusão clara e amigável: o conjunto
é limitado, tem
, e não existem
tais que
, porque todas as distâncias entre pontos de
são estritamente menores que
embora
seja o supremo dessas distâncias.