(3) Dê exemplo de um conjunto limitado X \subset \mathbb{R} tal que não existam x, y \in X \operatorname{com}|x-y|=\operatorname{diam} X.

Passo 1

O que o enunciado pede: dar um exemplo de um conjunto limitado X\subset\mathbb{R} tal que não existam x,y\in X com |x-y|=\operatorname{diam} X.
Informações relevantes dadas/implicadas:
  • Preciso escolher um conjunto X que seja limitado (ou seja, contido em algum intervalo finito).
  • A definição de \operatorname{diam} X que vou usar é
\operatorname{diam} X = \sup\{\;|x-y| : x,y\in X\;\},
o supremo das distâncias entre pontos de X.
  • O objetivo é que esse supremo não seja atingido por nenhum par (x,y)\in X\times X.

Passo 2

Escolha do exemplo: vou propor o conjunto aberto X=(0,1). Esse é um candidato natural porque é limitado (está contido em [0,1]) e tem pontos arbitrariamente próximos de 0 e de 1, o que sugere que a maior distância possível entre pontos de X é 1 mas os extremos 0 e 1 não pertencem a X, então talvez a distância 1 não seja atingida.

Passo 3

Vou lembrar o que significa supremum e por que isso importa aqui. Para um conjunto S\subset\mathbb{R}, \sup S é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de S. Pode acontecer que \sup S pertença a S (então é máximo) ou que não pertença (então é apenas supremo). No nosso caso queremos que
\operatorname{diam} X=\sup\{\;|x-y|:x,y\in X\;\}
seja um valor que não seja igual a |x-y| para nenhum par x,y\in X.

Passo 4

Mostro primeiro que para X=(0,1) as distâncias entre quaisquer dois pontos valem sempre menos que 1, portanto 1 é uma cota superior do conjunto de distâncias. De fato, se x,y\in(0,1) então 0<x<1 e 0<y<1, logo
-1<x-y<1,
ou seja
|x-y|<1.
Portanto todo elemento do conjunto \{|x-y|:x,y\in X\} é menor que 1, então \operatorname{diam} X\le 1.

Passo 5

Agora mostro que \operatorname{diam} X\ge 1, o que combinado com o passo anterior dará \operatorname{diam} X=1. Para isso construo pares de pontos cuja distância se aproxima de 1. Tome, por exemplo, para cada n\in\mathbb{N} os pontos
x_n=\frac{1}{n}\in(0,1),\qquad y_n=1-\frac{1}{n}\in(0,1).
Então
|x_n-y_n|=1-\frac{2}{n}.
Como 1-\dfrac{2}{n}\to 1 quando n\to\infty, concluímos que o supremo das distâncias é pelo menos 1. Assim
\operatorname{diam} X=1.

Passo 6

Finalmente, mostro que nenhum par x,y\in(0,1) satisfaz |x-y|=1. Isso é imediato a partir da desigualdade do passo 4: para quaisquer x,y\in(0,1) tem-se |x-y|<1. Portanto não existe par em X cuja distância seja exatamente \operatorname{diam} X.

Passo 7

Conclusão clara e amigável: o conjunto X=(0,1) é limitado, tem \operatorname{diam} X=1, e não existem x,y\in X tais que |x-y|=\operatorname{diam} X, porque todas as distâncias entre pontos de X são estritamente menores que 1 embora 1 seja o supremo dessas distâncias.

Resposta

X=(0,1)

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