Prove que toda norma em \mathbb{R} é da forma |x|=a \cdot|x|_{\text {usual }} com a>0.

Passo 1

O enunciado dá uma norma em \mathbb{R}. Vou listar claramente o que isso significa e o que é pedido.
  • Dado: existe uma função \|\cdot\|:\mathbb{R}\to[0,\infty) que é norma, ou seja, para todo x,y\in\mathbb{R} e todo escalar \lambda\in\mathbb{R} valem:
    1. (Definitude) \|x\|=0 se e somente se x=0.
    2. (Homogeneidade) \|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|.
    3. (Desigualdade triangular) \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|.
  • Pedido: provar que existe um número real a>0 tal que, para todo x\in\mathbb{R},
    \|x\|=a\cdot |x|_{\text{usual}},
    onde |x|_{\text{usual}} é o valor absoluto usual de x.

Passo 2

Identificar um vetor não nulo que gera todo o espaço. No espaço vetorial \mathbb{R} o elemento 1 gera todo o espaço, pois qualquer x\in\mathbb{R} pode ser escrito como x=x\cdot 1. Como 1\neq 0, pela propriedade de definitude da norma temos
\|1\|>0.
Vou definir a constante que suspeitamos aparecer na fórmula: seja
a:=\|1\|.
Logo a>0.

Passo 3

Usar a homogeneidade da norma para relacionar \|x\| com \|1\|. Para um x\in\mathbb{R} qualquer, escrevemos x=x\cdot 1. Aplicando a propriedade de homogeneidade (com \lambda=x e v=1) obtemos
\|x\|=\|x\cdot 1\|=|x|\,\|1\|.
Substituindo a=\|1\| fica
\|x\|=a\cdot |x|.

Passo 4

Verificar que isso cobre todos os casos e é consistente. A igualdade da etapa anterior vale para todo x\in\mathbb{R}, incluindo x=0: para x=0 obtemos \|0\|=a\cdot|0|=a\cdot 0=0, consistente com a norma. Para x\neq0 obtemos \|x\|>0 porque a>0 e |x|>0.

Passo 5

Checar (por completude) que a forma \|x\|=a|x| satisfaz a desigualdade triangular automaticamente, já que a desigualdade triangular usual de |\cdot|
a|x+y|\le a|x|+a|y|.
Isso mostra que uma norma com essa forma é realmente uma norma — consistência confirmada. Além disso, a constante a é única: a=\|1\| é determinada pela norma inicial.

Resposta

\|x\|=a\cdot|x|_{\text{usual}} com a=\|1\|>0.

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