Prove que toda norma em
é da forma
com
.
Passo 1
O enunciado dá uma norma em
. Vou listar claramente o que isso significa e o que é pedido.
-
Dado: existe uma função
que é norma, ou seja, para todo e todo escalar valem: - (Definitude)
se e somente se . - (Homogeneidade)
. - (Desigualdade triangular)
.
- (Definitude)
-
Pedido: provar que existe um número real
tal que, para todo , ondeé o valor absoluto usual de .
Passo 2
Identificar um vetor não nulo que gera todo o espaço. No espaço vetorial
o elemento
gera todo o espaço, pois qualquer
pode ser escrito como
. Como
, pela propriedade de definitude da norma temos
Vou definir a constante que suspeitamos aparecer na fórmula: seja
Logo
.
Passo 3
Usar a homogeneidade da norma para relacionar
com
. Para um
qualquer, escrevemos
. Aplicando a propriedade de homogeneidade (com
e
) obtemos
Substituindo
fica
Passo 4
Verificar que isso cobre todos os casos e é consistente. A igualdade da etapa anterior vale para todo
, incluindo
: para
obtemos
, consistente com a norma. Para
obtemos
porque
e
.
Passo 5
Checar (por completude) que a forma
satisfaz a desigualdade triangular automaticamente, já que a desigualdade triangular usual de
dá
Isso mostra que uma norma com essa forma é realmente uma norma — consistência confirmada. Além disso, a constante
é única:
é determinada pela norma inicial.