Exemplo 2: Determine a impedância Z_{L} da carga que maximiza o consumo de potência do circuito a seguir. Qual é a máxima potência média?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a impedância da carga Z_{L} que MAXIMIZA o consumo de potência média no circuito.
  • Calcular a potência média máxima (quando a carga estiver ajustada para máxima transferência).
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem:
  • Há uma fonte de tensão senoidal em phasor: V_s = 2\angle 0^\circ\\ \text{V} entre o nó central superior (chamarei de nó B) e o terra (nó inferior). (peguei esse valor da imagem)
  • Entre o nó à esquerda ( A) e o nó B existe um capacitor representado por -j4\\ \Omega. (peguei esse valor da imagem)
  • Do nó A ao terra há um resistor de 8\\ \Omega. (peguei esse valor da imagem)
  • Entre o nó B e o nó à direita ( C) há um indutor representado por j10\\ \Omega. (peguei esse valor da imagem)
  • Do nó C ao terra há um resistor de 5\\ \Omega. (peguei esse valor da imagem)
  • A carga Z_L está conectada entre o nó C (topo à direita) e o terra (remoção para cálculo de circuito aberto). (peguei essa topologia da imagem)
Resumo objetivo: achar Z_L que maximiza potência no load e calcular essa potência máxima.

Passo 2

Qual a ideia física/matemática que vamos usar (explicação didática e simples)?
  • Teorema de máxima transferência de potência para circuitos em regime senoidal (phasor, circuitos complexos): a potência média entregue a uma carga Z_L é máxima quando a carga é o conjugado complexo da impedância de Thévenin vista pelos terminais da carga. Em símbolos:
Z_L = Z_{th}^*.
  • Aqui Z_{th} é a impedância equivalente (complexa) vista pelos terminais da carga com as fontes internas do circuito mantidas (ou, equivalentemente, encontrada calculando-se a impedância com as fontes independentes “desligadas” — tensão -> curto, corrente -> circuito aberto).
  • Quando Z_L = Z_{th}^* e escrevemos Z_{th}=R_{th}+jX_{th}, então Z_L=R_{th}-jX_{th} e a impedância total série Z_{th}+Z_L = 2R_{th} é puramente real. Isso simplifica cálculo da corrente e da potência.
  • Fórmula útil para a potência máxima entregue ao load (quando Z_L=Z_{th}^*) é:
P_{\max}=\frac{|V_{th}|^2}{8\,R_{th}},
onde |V_{th}| é a magnitude da tensão de Thévenin em circuito aberto (voc) e R_{th}=\Re(Z_{th}).
Vou então:
  1. calcular V_{th}=V_{oc} no nó C com a carga desconectada;
  2. calcular Z_{th} visto do mesmo nó com a fonte desligada;
  3. aplicar Z_L=Z_{th}^* e a fórmula de P_{\max}.

Passo 3

Cálculo de V_{th} (tensão de circuito aberto no nó C): circuito com carga aberta.
Observação de topologia (com carga aberta): o nó B está diretamente ligado à fonte de tensão V_s=2\angle0^\circ, portanto V_B=V_s=2\angle0^\circ\\ \text{V}. O nó C está ligado a B através de j10\\ \Omega e ao terra através de 5\\ \Omega. Com a carga aberta não há outra conexão no nó C. Assim é um divisor de tensão simples entre j10 (entre B e C) e 5 (entre C e terra), com a fonte em B.
Então:
V_{th}=V_C=V_B\cdot\frac{Z_{C\to\text{terra}}}{Z_{B\to C}+Z_{C\to\text{terra}}} =V_s\cdot\frac{5}{j10+5}.
Substituindo V_s=2\angle0^\circ:
V_{th}=2\cdot\frac{5}{5+j10}=\frac{10}{5+j10}.
Agora simplifico em forma retangular para facilitar cálculos posteriores. Dividindo numerador e denominador por 5:
V_{th}=\frac{2}{1+j2}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 1-j2:
V_{th}=\frac{2(1-j2)}{1+(2)^2}=\frac{2(1-j2)}{5}=\frac{2}{5}-j\frac{4}{5}=0,4-j0,8\\ \text{V}.
Magnitude e ângulo (útil depois):
|V_{th}|=\sqrt{0,4^2+(-0,8)^2}=\sqrt{0,16+0,64}=\sqrt{0,8}=0,894427\\ \text{V}.

Passo 4

Cálculo de Z_{th} (impedância de Thévenin vista dos terminais da carga): desligar a fonte (fonte de tensão independente em curto).
  • Desligar a fonte V_s significa substituí-la por um curto entre o nó B e o terra, então o nó B fica em potencial de referência (terra).
  • Com isso, ao olhar para os terminais do load (nó C para terra), encontram-se dois ramos para o terra: o resistor de 5\\ \Omega direto e o indutor j10\\ \Omega que agora liga C diretamente ao terra (porque B virou terra). Portanto esses dois estão em paralelo quando a fonte está desligada.
  • Elementos à esquerda ( -j4 e 8\\ \Omega) conectam-se ao nó B que está em terra e não se conectam a C com a fonte desligada, logo não influenciam Z_{th} visto por C.
Logo:
Z_{th}=\left(j10\right)\parallel 5=\frac{j10\cdot 5}{j10+5}=\frac{j50}{5+j10}.
Agora simplifico multiplicando numerador e denominador por 5-j10:
Z_{th}=\frac{j50(5-j10)}{(5+j10)(5-j10)}=\frac{j50(5-j10)}{25+100}=\frac{j50(5-j10)}{125}.
Calculo do numerador:
j50\cdot 5 = j250,\qquad j50\cdot(-j10)=-j^2 500 = +500.
Portanto numerador =500+j250. Dividindo por 125:
Z_{th}=4+j2\\ \Omega.
Verificação rápida: R_{th}=\Re(Z_{th})=4\\ \Omega e X_{th}=2\\ \Omega.

Passo 5

Impedância da carga para máxima transferência de potência:
Pelo teorema da máxima transferência (Passo 2), a carga ótima é o conjugado complexo de Z_{th}:
Z_L = Z_{th}^* = 4 - j2\\ \Omega.
Explicando em palavras: escolhemos a parte resistiva igual a 4\\ \Omega e a reatância do sinal oposto ( -j2\\ \Omega) para cancelar a parte reativa da fonte vista pela carga, maximizando a potência média entregue.

Passo 6

Cálculo da potência média máxima P_{\max} quando Z_L=4-j2\\ \Omega.
Usamos a fórmula (vista no Passo 2), que pode ser deduzida rapidamente:
  • Se Z_L=Z_{th}^* então a impedância total série Z_{th}+Z_L=2R_{th} é puramente real.
  • A corrente de circuito é I=\dfrac{V_{th}}{Z_{th}+Z_L}=\dfrac{V_{th}}{2R_{th}}.
  • A potência média absorvida pela carga (resistiva R_L=R_{th}) é
P_{\max}=\frac{1}{2}|I|^2 R_L =\frac{1}{2}\left|\frac{V_{th}}{2R_{th}}\right|^2 R_{th} =\frac{|V_{th}|^2}{8R_{th}}.
Substituindo os valores já obtidos |V_{th}|^2=0,8 (pois |V_{th}|^2=(0,894427)^2=0,8) e R_{th}=4\\ \Omega:
P_{\max}=\frac{0,8}{8\cdot 4}=\frac{0,8}{32}=0,025\\ \text{W}.
Em unidade conveniente: 0,025\\ \text{W}=25\\ \text{mW}.

Passo 7

Resumo final (explicação curta de interpretação): ajustando a carga para 4-j2\\ \Omega a parte reativa da fonte vista pelo load é cancelada e a resistência efetiva vista é otimizada, resultando na máxima potência média de 25\\ \text{mW}.

Resposta

Z_{L}=4-j2\\ \Omega
P_{\max}=0,025\\ \text{W}

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