Exemplo 3.1. A EDO \frac{d y}{d x}=\frac{y+x}{x-y} pode ser expressa da seguinte forma: \frac{d y}{d x}=\frac{(y / x)+1}{1-(y / x)}. Logo, tal EDO é homogênea.
Fazendo a mudança de variável v=y / x, obtemos y=v x e, assim, \frac{d y}{d x}=x \frac{d v}{d x}+v. Disso resulta x \frac{d v}{d x}+v=\frac{v+1}{1-v}, ou seja, x \frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{1-v}-v=\frac{v+1}{1-v}-\frac{v-v^{2}}{1-v}=\frac{v^{2}+1}{1-v}. Logo, x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}+1}{1-v} e, assim, \frac{1-v}{v^{2}+1} d v=\frac{1}{x} d x. Integrando:
\int \frac{1-v}{v^{2}+1} d v=\int \frac{1}{x} d x
Como \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+c_{1} \mathrm{e}
\begin{aligned} \int \frac{1-v}{v^{2}+1} d v & =\int \frac{1}{v^{2}+1} d v-\int \frac{v}{v^{2}+1} d v= \\\ & =\operatorname{arctg} v-\frac{1}{2} \ln \left(v^{2}+1\right)+c_{2} \end{aligned}
temos 2 \operatorname{arctg} v-\ln \left(v^{2}+1\right)+2 c_{2}=2 \ln |x|+2 c_{1}. Fazendo C=2\left(c_{1}-c_{2}\right), obtemos
2 \operatorname{arctg} v=\ln \left(v^{2}+1\right)+\ln |x|^{2}+C=\ln \left(x^{2}\left[v^{2}+1\right]\right)+C .
Como v=y / x, concluímos que a solução geral da EDO é dada por 2 \operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)+C

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{y+x}{x-y}
e já mostra uma forma equivalente
\frac{d y}{d x}=\frac{(y/x)+1}{1-(y/x)}.
Temos que encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes dadas: a expressão acima sugere a substituição v=\dfrac{y}{x} (ou seja, y=vx); o enunciado já indica essa mudança de variável. Não há figura nem dados ausentes.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável indicada: definimos
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Agora precisamos da derivada dy/dx em termos de v e dv/dx. Usamos a regra do produto: se y(x)=v(x)\cdot x, então
\frac{d y}{d x}=v+x\frac{d v}{d x}.
Explicando a regra do produto de forma simples: a derivada de v(x)\cdot x é derivada de v vezes x mais v vezes derivada de x (que é 1), daí x\,dv/dx + v.

Passo 3

Substituímos \dfrac{d y}{d x}=v+x\dfrac{d v}{d x} na equação original, que estava escrita em função de v:
v+x\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{1-v}.
Isolamos x\,dv/dx:
x\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{1-v}-v.
Agora fazemos a subtração no lado direito com cuidado, colocando sobre o mesmo denominador (1-v):
\frac{v+1}{1-v}-v=\frac{v+1}{1-v}-\frac{v(1-v)}{1-v}=\frac{v+1-v+v^{2}}{1-v}=\frac{v^{2}+1}{1-v}.
Portanto obtemos
x\frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}+1}{1-v}.

Passo 4

Queremos separar variáveis para integrar. Reescrevemos a equação isolando dv e dx:
\frac{1-v}{v^{2}+1}\,dv=\frac{1}{x}\,dx.
Aqui a ideia de separação de variáveis é mover todos os termos com v para o lado esquerdo e todos os termos com x para o lado direito, de forma que possamos integrar cada lado em sua variável.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1-v}{v^{2}+1}\,dv=\int \frac{1}{x}\,dx.
No lado esquerdo dividimos a fração em duas parcelas para facilitar:
\frac{1-v}{v^{2}+1}=\frac{1}{v^{2}+1}-\frac{v}{v^{2}+1}.
Assim,
\int \left(\frac{1}{v^{2}+1}-\frac{v}{v^{2}+1}\right)\,dv =\int \frac{1}{v^{2}+1}\,dv-\int \frac{v}{v^{2}+1}\,dv.
Calculamos cada integral separadamente:
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{v^{2}+1}\,dv usamos a primitiva conhecida (função arco-tangente):
\int \frac{1}{v^{2}+1}\,dv=\operatorname{arctg} v.
  • Para \displaystyle \int \frac{v}{v^{2}+1}\,dv usamos a substituição u=v^{2}+1, então du=2v\,dv, logo
\int \frac{v}{v^{2}+1}\,dv=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln\bigl(v^{2}+1\bigr).
No lado direito,
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x| .
Juntando tudo e incluindo constantes de integração (uso c_{1},c_{2} para os dois lados),
\operatorname{arctg} v-\frac{1}{2}\ln\bigl(v^{2}+1\bigr)+c_{2}=\ln|x|+c_{1}.

Passo 6

Eliminamos os dois constantes separadas combinando-as numa única constante global. Primeiro multiplicamos a igualdade por 2 para evitar fração:
2\operatorname{arctg} v-\ln\bigl(v^{2}+1\bigr)+2c_{2}=2\ln|x|+2c_{1}.
Definimos C=2(c_{1}-c_{2}) (uma constante arbitrária), passando termos para um só lado, e obtemos
2\operatorname{arctg} v-\ln\bigl(v^{2}+1\bigr)=2\ln|x|+C.

Passo 7

Voltamos à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Observamos que
\ln\bigl(v^{2}+1\bigr)+\ln|x|^{2}=\ln\bigl(x^{2}(v^{2}+1)\bigr).
Mas x^{2}(v^{2}+1)=x^{2}\bigl((y/x)^{2}+1\bigr)=y^{2}+x^{2}. Assim podemos reescrever a igualdade do Passo 6 como
2\operatorname{arctg}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+C.
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial; ela reúne a parte trigonométrica (arco-tangente) e a parte logarítmica em uma constante arbitrária C.

Resposta

2\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+C

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