Exemplo 3.1. A EDO
pode ser expressa da seguinte forma:
. Logo, tal EDO é homogênea.
Fazendo a mudança de variável
, obtemos
e, assim,
. Disso resulta
, ou seja,
. Logo,
e, assim,
. Integrando:
Como
temos
. Fazendo
, obtemos
Como
, concluímos que a solução geral da EDO é dada por
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e já mostra uma forma equivalente
Temos que encontrar a solução geral
. Informações relevantes dadas: a expressão acima sugere a substituição
(ou seja,
); o enunciado já indica essa mudança de variável. Não há figura nem dados ausentes.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável indicada: definimos
Agora precisamos da derivada
em termos de
e
. Usamos a regra do produto: se
, então
Explicando a regra do produto de forma simples: a derivada de
é derivada de
vezes
mais
vezes derivada de
(que é
), daí
.
Passo 3
Substituímos
na equação original, que estava escrita em função de
:
Isolamos
:
Agora fazemos a subtração no lado direito com cuidado, colocando sobre o mesmo denominador
:
Portanto obtemos
Passo 4
Queremos separar variáveis para integrar. Reescrevemos a equação isolando
e
:
Aqui a ideia de separação de variáveis é mover todos os termos com
para o lado esquerdo e todos os termos com
para o lado direito, de forma que possamos integrar cada lado em sua variável.
Passo 5
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo dividimos a fração em duas parcelas para facilitar:
Assim,
Calculamos cada integral separadamente:
- Para
usamos a primitiva conhecida (função arco-tangente):
- Para
usamos a substituição , então , logo
No lado direito,
Juntando tudo e incluindo constantes de integração (uso
para os dois lados),
Passo 6
Eliminamos os dois constantes separadas combinando-as numa única constante global. Primeiro multiplicamos a igualdade por
para evitar fração:
Definimos
(uma constante arbitrária), passando termos para um só lado, e obtemos
Passo 7
Voltamos à variável original usando
. Observamos que
Mas
. Assim podemos reescrever a igualdade do Passo 6 como
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial; ela reúne a parte trigonométrica (arco-tangente) e a parte logarítmica em uma constante arbitrária
.