Exercício 3.2. Mostre que a EDO dada em cada item é homogênea e resolva as EDO’s e o PVI.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e o PVI
O que pede:
- Mostrar que a função do lado direito é homogênea.
- Resolver a EDO (encontrar a solução geral, ou forma implícita se necessário).
- Resolver o problema de valor inicial (PVI) com
.
Passo 2
Primeiro vamos testar a homogeneidade. Uma função
é homogênea de grau
se, para todo
,
Aqui definimos
Substituímos
em
:
Como
, concluímos que
é homogênea de grau
. (Primeira parte pronta.)
Passo 3
Quando o lado direito é homogêneo de grau
é conveniente usar a troca de variável
onde
é função de
. Precisamos da derivada
em termos de
e
. Usando regra do produto,
Essa substituição costuma transformar a equação num problema separável — vamos ver.
Passo 4
Substituímos
na EDO. Primeiro calculamos o lado direito:
Então a equação
vira
Passo 5
Isolamos
:
Fazemos o mesmo denominador no lado direito:
Logo
Isso é separável. Separamos as variáveis
e
:
Observe que
, o que facilita a integração.
Passo 6
Integramos ambos os lados:
As integrais são
onde
é constante de integração. Essa é a solução implícita em
.
Passo 7
Usamos a condição inicial para determinar
. Lembremos que
. Para
e
temos
. Substituindo
e
em
obtém-se
logo
.
Passo 8
Reescrevemos a solução com a constante encontrada:
Voltando para
usando
e simplificando com a propriedade
, temos
Substituindo a propriedade do logaritmo:
Os termos
cancelam, restando a forma implícita simples da solução que satisfaz o PVI:
Essa equação determina
em função de
; é uma solução implícita (a resolução explícita em termos elementares não é possível por causa do
).
Resposta
A EDO é homogênea de grau
.
A solução do PVI (forma implícita) é
que satisfaz
.