Exercício 3.2. Mostre que a EDO dada em cada item é homogênea e resolva as EDO’s e o PVI.
y^{\prime}=\frac{y^{2}}{y x+x^{2}}, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e o PVI
y'=\frac{y^{2}}{y x+x^{2}},\qquad y(1)=1.
O que pede:
  • Mostrar que a função do lado direito é homogênea.
  • Resolver a EDO (encontrar a solução geral, ou forma implícita se necessário).
  • Resolver o problema de valor inicial (PVI) com y(1)=1.

Passo 2

Primeiro vamos testar a homogeneidade. Uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t,
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
Aqui definimos
f(x,y)=\frac{y^{2}}{yx+x^{2}}.
Substituímos (tx,ty) em f:
f(tx,ty)=\frac{(ty)^{2}}{(ty)(tx)+(tx)^{2}}=\frac{t^{2}y^{2}}{t^{2}(yx+x^{2})}=\frac{y^{2}}{yx+x^{2}}=f(x,y).
Como f(tx,ty)=t^{0}f(x,y), concluímos que f é homogênea de grau 0. (Primeira parte pronta.)

Passo 3

Quando o lado direito é homogêneo de grau 0 é conveniente usar a troca de variável
y=vx,
onde v é função de x. Precisamos da derivada y' em termos de v e x. Usando regra do produto,
y'=v+x\frac{dv}{dx}.
Essa substituição costuma transformar a equação num problema separável — vamos ver.

Passo 4

Substituímos y=vx na EDO. Primeiro calculamos o lado direito:
\frac{y^{2}}{yx+x^{2}}=\frac{(vx)^{2}}{(vx)x+x^{2}}=\frac{v^{2}x^{2}}{x^{2}(v+1)}=\frac{v^{2}}{v+1}.
Então a equação y'=\dfrac{y^{2}}{yx+x^{2}} vira
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}}{v+1}.

Passo 5

Isolamos \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}}{v+1}-v.
Fazemos o mesmo denominador no lado direito:
\frac{v^{2}}{v+1}-v=\frac{v^{2}-v(v+1)}{v+1}=\frac{-v}{v+1}.
Logo
\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{(v+1)x}.
Isso é separável. Separamos as variáveis v e x:
\frac{v+1}{v}\,dv=-\frac{1}{x}\,dx.
Observe que \dfrac{v+1}{v}=1+\dfrac{1}{v}, o que facilita a integração.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
\int\left(1+\frac{1}{v}\right)\,dv=\int -\frac{1}{x}\,dx.
As integrais são
v+\ln|v|=-\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Essa é a solução implícita em v.

Passo 7

Usamos a condição inicial para determinar C. Lembremos que v=\dfrac{y}{x}. Para x=1 e y(1)=1 temos v(1)=1. Substituindo v=1 e x=1 em
v+\ln|v|=-\ln|x|+C
obtém-se
1+\ln 1=-\ln 1 + C \quad\Rightarrow\quad 1+0=0+C,
logo C=1.

Passo 8

Reescrevemos a solução com a constante encontrada:
v+\ln|v|=-\ln|x|+1.
Voltando para y usando v=\dfrac{y}{x} e simplificando com a propriedade \ln\left|\dfrac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|, temos
\frac{y}{x}+\ln\left|\frac{y}{x}\right|=-\ln|x|+1.
Substituindo a propriedade do logaritmo:
\frac{y}{x}+\ln|y|-\ln|x|=-\ln|x|+1.
Os termos -\ln|x| cancelam, restando a forma implícita simples da solução que satisfaz o PVI:
\frac{y}{x}+\ln|y|=1.
Essa equação determina y em função de x; é uma solução implícita (a resolução explícita em termos elementares não é possível por causa do \ln|y|).

Resposta

A EDO é homogênea de grau 0.
A solução do PVI (forma implícita) é
\frac{y}{x}+\ln|y|=1,
que satisfaz y(1)=1.

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