EXEMPLO 1

O elemento W200 x 46 ( A=5890 \mathrm{~mm}^{2} ; l_{x}=45.5 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} ; l_{y}=15.3 \times 10^{6} \mathrm{mm}^{4} ) de aço A-992 ( \sigma_{e}=345 \mathrm{MPa}; E=200 \mathrm{GPa} ) deve ser usado como um pilar rotulado nas duas extremidades (nos dois eixos). Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou que o aço escoe. Para este exemplo, usar FS = 1.1.

Passo 1

O enunciado dá uma viga W200×46 com
A = 5890\\ \text{mm}^2,\quad I_x = 45{,}5\times10^{6}\\ \text{mm}^4,\quad I_y = 15{,}3\times10^{6}\\ \text{mm}^4,
aço A-992 com
\sigma_e=345\\ \text{MPa} e E=200\\ \text{GPa},
apoios engastados-livres nas duas direções (coluna pino-pino em x e y) e comprimento L=3\\ \text{m}=3000\\ \text{mm}.
Queremos a carga axial máxima antes de flambagem ou escoamento, usando fator de segurança \mathrm{FS}=1{,}1.

Passo 2

Calcular os raios de giração e as esbeltezes em cada direção. Como K=1 (pino-pino),
r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{45{,}5\times10^6}{5890}} \approx87{,}9\\ \text{mm}, \quad r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{15{,}3\times10^6}{5890}} \approx50{,}97\\ \text{mm}.
Logo as esbeltezes são
\lambda_x = \frac{K\,L}{r_x} = \frac{3000}{87{,}9}\approx34{,}1, \quad \lambda_y = \frac{3000}{50{,}97}\approx58{,}9.

Passo 3

Determinar a esbeltez crítica que separa regime elástico de inelástico:
\lambda_c = \sqrt{\frac{\pi^2 E}{\sigma_e}} = \sqrt{\frac{\pi^2\,(200000)}{345}} \approx75{,}6.
Como \lambda_x<\lambda_c e \lambda_y<\lambda_c, ambas as direções operam no regime inelástico e usamos a fórmula de Johnson.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Johnson para tensão crítica em cada eixo:
\sigma_{cr} \;=\;\sigma_e\Biggl[1 \;-\;\frac{\sigma_e\,\lambda^2}{4\pi^2\,E}\Biggr].
Para o eixo x:
\sigma_{cr,x} =345\Bigl[1-\frac{345\,(34{,}1)^2}{4\pi^2\,200000}\Bigr] \approx327{,}4\\ \text{MPa}.
Para o eixo y:
\sigma_{cr,y} =345\Bigl[1-\frac{345\,(58{,}9)^2}{4\pi^2\,200000}\Bigr] \approx292{,}6\\ \text{MPa}.
O menor valor ( 292{,}6\\ \text{MPa}) controla.

Passo 5

Determinar a tensão admissível dividindo por \mathrm{FS}:
\sigma_{adm} = \frac{292{,}6}{1{,}1}\approx266{,}0\\ \text{MPa}.
Logo a carga admissível é
P_{adm} = \sigma_{adm}\,A =266{,}0\;\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\times5890\;\text{mm}^2 \approx1{,}57\times10^6\\ \text{N}.

Resposta

P_{\max}\approx1{,}57\times10^6\\ \text{N} (≈ 1570 kN)

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