1. Um componente ABCDE de um navio de 2500 kN de peso total está sendo suspendido por um conjunto de 3 guindastes. Calcular a força nos cabos de suspensão AFC, BHE, DJ, FG e HI. Indicar a orientação dos dois últimos cabos.

Passo 1

Resumindo: temos um corpo rígido ABCDE de peso total W=2500,kN apoiado em três sistemas de cabos:
– cabo “AFC” com duas pontas ligadas em A e em C, passando pela polia em F;
– cabo “BHE” com duas pontas ligadas em B e em E, passando pela polia em H;
– cabo “DJ” com ponta em D, passando pela polia em J.
Os ângulos dos cabos nas pontas A, B, C, D e E são, respectivamente, \alpha_A=90^\circ, \alpha_B=45^\circ, \alpha_C=60^\circ, \alpha_D=90^\circ, \alpha_E=90^\circ.
Chamando de T_1, T_2 e T_3 as tensões nos cabos AFC, BHE e DJ, vamos usar:
  1. equilíbrio horizontal \sum F_x=0;
  2. equilíbrio vertical \sum F_y=0;
  3. momento em relação a A, \sum M_A=0.

Passo 2

Equilíbrio horizontal (só há componentes no nó C e no nó B):
T_1\cos60^\circ \;=\;T_2\cos45^\circ \qquad\Longrightarrow\qquad T_1\,\tfrac12 \;=\;T_2\,\tfrac{\sqrt2}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; T_1 = \sqrt2\,T_2 \approx1{,}414\,T_2.

Passo 3

Equilíbrio vertical ( + para cima):
as componentes verticais são
– em A: T_1\sin90^\circ=T_1,
– em C: T_1\sin60^\circ,
– em B: T_2\sin45^\circ,
– em E: T_2\sin90^\circ=T_2,
– em D: T_3\sin90^\circ=T_3.
Logo
T_1 + T_1\sin60^\circ \;+\;T_2\sin45^\circ \;+\;T_2 + T_3 \;=\;2500.
Substituindo \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}2 e \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}2,
T_1\bigl(1+\tfrac{\sqrt3}2\bigr)\;+\;T_2\bigl(1+\tfrac{\sqrt2}2\bigr)\;+\;T_3 \;=\;2500.
Numericamente
1{,}866\,T_1 \;+\;1{,}707\,T_2 \;+\;T_3 = 2500. \tag{1}

Passo 4

Momento em A (distâncias em metros: B a 5, C a 15, D a 30, E a 35; carga W a 20 m):
T_2\sin45^\circ\cdot5 \;+\;T_1\sin60^\circ\cdot15 \;+\;T_3\cdot30 \;+\;T_2\cdot35 \;=\;2500\cdot20.
Substituindo \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}2, \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}2 e simplificando,
3{,}535\,T_2 +12{,}99\,T_1 +30\,T_3 +35\,T_2 = 50000 \;\;\Longrightarrow\;\; 12{,}99\,T_1 +38{,}535\,T_2 +30\,T_3 =50000. \tag{2}
Agora: da (2) e da (1), e usando T_1=1{,}414\,T_2, resolvemos
1{,}866\cdot1{,}414\,T_2 \;+\;1{,}707\,T_2 \;+\;T_3 =2500 \;\Longrightarrow\; 4{,}346\,T_2 + T_3 =2500,
e
12{,}99\cdot1{,}414\,T_2 +38{,}535\,T_2 +30\,T_3 =50000 \;\Longrightarrow\; 56{,}901\,T_2 +30\,T_3 =50000.
Destas duas equações segue
T_2 \approx 340{,}3\;\mathrm{kN}, \quad T_1 =1{,}414\,T_2\approx481{,}4\;\mathrm{kN}, \quad T_3 =2500-4{,}346\,T_2\approx1020{,}5\;\mathrm{kN}.

Passo 5

Os cabos “FG” e “HI” são simplesmente os trechos de cabo entre as polias superiores (do sistema AFC em F e G, e do sistema BHE em H e I). A tensão nesses trechos é a mesma dos cabos principais:
T_{FG}=T_1=481{,}4\;\mathrm{kN}, \quad T_{HI}=T_2=340{,}3\;\mathrm{kN}.
Em relação à orientação, eles ficam inclinados conforme desenhado:
– o trecho FG liga a polia em F à polia em G, numa inclinação ascendente em direção ao giro do guindaste;
– o trecho HI liga a polia em H à polia em I, também inclinado em direção ao braço do guindaste.

Resposta

AFC: T_1\approx481{,}4,kN
BHE: T_2\approx340{,}3,kN
DJ: T_3\approx1020{,}5,kN
FG: tensionada em 481{,}4,kN, trecho oblíquo entre F e G
HI: tensionada em 340{,}3,kN, trecho oblíquo entre H e I

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