Exemplo 9: Expresse as tensões e correntes senoidais a seguir como um número complexo na suas formas polar e retangular.
\quad v(t)=45 \cos (100 t) V

Passo 1

O enunciado pede: “Expresse a tensão senoidal como um número complexo nas suas formas polar e retangular.” A informação dada é:
v(t)=45\cos(100t)\\ \text{V}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{Amplitude (valor de pico)} = 45\\ \text{V},
\text{frequência angular} = 100\\ \text{rad/s},ê
\text{fase} = 0^\circ\\ \text{(pois é }\cos(100t)\text{ sem deslocamento)}.é

Passo 2

O que significa representar uma senoide por um número complexo (phasor)?
  • Uma senoide genérica pode ser escrita como \displaystyle A\cos(\omega t+\varphi).
  • Em representação fasorial (número complexo) há duas convenções comuns:
    1. convenção de pico (usar a amplitude A diretamente), o fasor é \displaystyle A\angle\varphi;
    2. convenção RMS (muito usada em circuitos e potências), o fasor é \displaystyle \frac{A}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
  • Para converter da forma polar para retangular usamos a fórmula de Euler:
e^{j\varphi}=\cos\varphi+j\sin\varphi,
portanto
R\angle\varphi=R(\cos\varphi+j\sin\varphi)=R\cos\varphi + jR\sin\varphi,
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1), R é a magnitude e \varphi é o ângulo em graus ou radianos.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso na convenção de pico (mais direta):
  • Aqui A=45 e \varphi=0^\circ. Então o fasor na forma polar é
45\angle 0^\circ.
  • Converter para a forma retangular:
45\angle 0^\circ = 45(\cos 0^\circ + j\sin 0^\circ) = 45(1 + j0) = 45 + j0.
Explanação: como \cos 0^\circ = 1 e \sin 0^\circ = 0, a parte imaginária é zero.

Passo 4

Se quisermos também a representação na convenção RMS (útil em muitos exercícios de circuitos), calculamos a magnitude RMS:
\frac{45}{\sqrt{2}} \approx 31{,}82\\ \text{V}.
  • Fasor RMS na forma polar:
31{,}82\angle 0^\circ.
  • Fasor RMS na forma retangular:
31{,}82\angle 0^\circ = 31{,}82 + j0.
Explicação: a única diferença é a escala da magnitude; o ângulo permanece 0^\circ.

Passo 5

Resumo prático para a prova (como usar rápido):
  • Se o enunciado não especifica, pergunte mentalmente se querem fasor de pico ou RMS. Se for potência ou circuito, normalmente usam RMS; se for só conversão direta, às vezes usam pico.
  • Para obter a forma retangular faça R\cos\varphi como parte real e R\sin\varphi como parte imaginária.
  • No nosso caso, como \varphi=0^\circ, ambas as formas (polar e retangular) são fáceis porque a parte imaginária dá zero.

Resposta

Pico (convenção de amplitude): 45\angle 0^\circ V \;=\;45 + j0 V
RMS (convenção de potência): 31{,}82\angle 0^\circ V \;=\;31{,}82 + j0 V

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