Exemplo 9: Expresse as tensões e correntes senoidais a seguir como um número complexo na suas formas polar e retangular.
\quad i(t)=69,65 \operatorname{sen}\left(300 t+72^{\circ}\right) A

Passo 1

O enunciado nos dá a corrente senoidal
i(t)=69,65\operatorname{sen}\bigl(300t+72^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}
e pede que a expressemos como um número complexo nas formas polar e retangular.
Informações relevantes:
  • Amplitude (valor de pico) é \;69,65\;\mathrm{A}.
  • Pulsação é \;300\;\mathrm{rad/s} (não usada para o phasor numérico, só mostra a frequência).
  • Fase é \;72^\circ.
    Pergunta: obter o phasor (número complexo) correspondente em forma polar e em forma retangular.

Passo 2

Conceito rápido (sem jargão): um phasor é uma forma de escrever uma senoide como um número complexo que guarda a amplitude e a fase. A regra prática que vamos usar é simples:
\text{Se } i(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi), \text{ então, usando a referência seno, o phasor é } I = A\angle\varphi.ãêé
Observação importante (muita gente confunde): muitos livros e provas usam referência em cosseno. Nesse caso a relação é
A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi-90^\circ\bigr),
logo, em convenção cosseno o ângulo do phasor seria \varphi-90^\circ. Aqui vamos manter a referência natural do enunciado (seno), então usamos diretamente A e \varphi.

Passo 3

Aplicando a regra direta ao nosso caso (referência seno, usar amplitude como módulo do phasor) obtemos imediatamente a forma polar:
I = 69,65\angle72^\circ\\ \mathrm{A}.
Isso já é a forma polar do número complexo que representa a corrente.

Passo 4

Agora vamos transformar essa forma polar em retangular (parte real + j parte imaginária). A fórmula que usamos é a conhecida relação entre representação polar e retangular:
A\angle\varphi = A\bigl(\cos\varphi + \mathrm{j}\sin\varphi\bigr).
Aqui A é a amplitude (valor numérico positivo) e \varphi é o ângulo em graus. \mathrm{j} é a unidade imaginária.

Passo 5

Calculamos as componentes usando \varphi=72^\circ e A=69,65. Valores trigonométricos (aproximações usuais):
\cos72^\circ \approx 0,30901699,\qquad \sin72^\circ \approx 0,95105652.
Multiplicando:
\text{parte real} = 69,65\cdot\cos72^\circ \approx 69,65\cdot0,30901699 \approx 21,523
\text{parte imaginária} = 69,65\cdot\sin72^\circ \approx 69,65\cdot0,95105652 \approx 66,241á
Portanto a forma retangular é
I \approx 21,523 + \mathrm{j}\,66,241\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Pequena nota pedagógica e de prova: às vezes a prova pede os phasors em valores RMS em vez de pico. Para passar de pico para RMS divide-se por \sqrt{2}. Assim, se precisasse do phasor RMS, seria
I_{\mathrm{rms}}=\frac{69,65}{\sqrt{2}}\angle72^\circ\approx49,254\angle72^\circ\\ \mathrm{A},
e em retangular isso seria os componentes do passo anterior divididos por \sqrt{2}. Mas como o enunciado não pediu explicitamente RMS, a resposta principal mantém a amplitude de pico.

Resposta

I = 69,65\angle72^\circ\\ \mathrm{A}
I = 21,523 + \mathrm{j}\,66,241\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados