Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas:
R(-2,6,0)

Passo 1

O enunciado pede para expressar o ponto R(-2,6,0) nas coordenadas cilíndricas e nas coordenadas esféricas.
Informações dadas: as coordenadas cartesianas do ponto são x=-2, y=6 e z=0.

Passo 2

Definição e fórmulas para coordenadas cilíndricas (vou usar a convenção padrão): as coordenadas cilíndricas são (r,\theta,z), onde
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\text{ângulo no plano }xy\text{ medido a partir de }x>0,\qquad z=\text{mesmo }z\text{ cartesiano}.â
Explicando: r é a distância da projeção do ponto no plano xy até a origem; \theta é o ângulo que o vetor (x,y) faz com o eixo positivo x. Para achar \theta em todas as quadrantes usamos a função \operatorname{atan2}(y,x) ou ajustamos \arctan conforme o sinal de x e y.

Passo 3

Calcular r:
r=\sqrt{(-2)^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.

Passo 4

Calcular \theta. Observando x=-2<0 e y=6>0, o ponto está no segundo quadrante. A razão absoluta é \displaystyle\left|\frac{y}{x}\right|=\frac{6}{2}=3, então o ângulo de referência é \arctan(3). No segundo quadrante,
\theta=\pi-\arctan(3).
Também podemos escrever \theta=\operatorname{atan2}(6,-2). Em valor numérico aproximado, \arctan(3)\approx 1,249045772 rad, logo \theta\approx 1,892546881 rad (aprox. 108{,}434948^\circ).

Passo 5

O valor de z permanece igual ao cartesiano, portanto z=0.

Passo 6

Resumo cilíndrico: juntando os resultados, as coordenadas cilíndricas do ponto são
(r,\theta,z)=\left(2\sqrt{10},\,\pi-\arctan(3),\,0\right).

Passo 7

Agora coordenadas esféricas. Vou usar a convenção padrão em muitas disciplinas: as coordenadas esféricas são (\rho,\varphi,\theta), onde
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \varphi=\text{ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo }z\\ (\text{ou seja, a partir de }z),\qquad \theta\\ \text{é o mesmo do cilindro}.âçãé
As fórmulas práticas são
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right),\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x).
Explicando: \rho é a distância 3D até a origem; \varphi mede “inclinação” desde o eixo z (se \varphi=0 o ponto está no eixo positivo z; se \varphi=\pi/2 está no plano xy).

Passo 8

Calcular \rho e \varphi para o ponto dado:
\rho=\sqrt{(-2)^{2}+6^{2}+0^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Como z=0,
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{0}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.
O \theta é o mesmo já calculado: \theta=\pi-\arctan(3).

Resposta

(r,\theta,z)=\left(2\sqrt{10},\,\pi-\arctan(3),\,0\right)
(\rho,\varphi,\theta)=\left(2\sqrt{10},\,\dfrac{\pi}{2},\,\pi-\arctan(3)\right)

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