Dê exemplo de uma função
deriável tal que
, e
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função
diferenciável em todo
e tal que\r
e
. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada e escolha de uma função cujos pontos críticos incluam
e
. Polinômios são uma escolha natural, pois são diferenciáveis em toda parte.
Passo 2
Vamos definir a função\r
Esse polinômio é diferenciável em
, e pelos fatores
e
esperamos que sua derivada se anule em
e
.
Passo 3
Para calcular
usamos a regra do produto em duas etapas. Primeiro, seja\r
Então\r
Como
e
, temos\r
Podemos fatorar
:\r
Passo 4
Basta agora avaliar em
e
. Como
, temos\r
Isso mostra que a função atende aos requisitos.
Resposta
A função \r
é diferenciável em
e satisfaz
e
.