Dê exemplo de uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} deriável tal que f^{\prime}(0)=0, e f^{\prime}(2)=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável em todo \mathbb{R} e tal que\r \,f'(0)=0 e f'(2)=0. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada e escolha de uma função cujos pontos críticos incluam x=0 e x=2. Polinômios são uma escolha natural, pois são diferenciáveis em toda parte.

Passo 2

Vamos definir a função\r
f(x) = x^2\,(x-2)^2.\r
Esse polinômio é diferenciável em \mathbb{R}, e pelos fatores x^2 e (x-2)^2 esperamos que sua derivada se anule em x=0 e x=2.

Passo 3

Para calcular f'(x) usamos a regra do produto em duas etapas. Primeiro, seja\r
u(x)=x^2, \quad v(x)=(x-2)^2.\r
Então\r
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).\r
Como u'(x)=2x e v'(x)=2(x-2), temos\r
f'(x) =2x\,(x-2)^2 + x^2\cdot 2(x-2).\r
Podemos fatorar 2x(x-2):\r
f'(x) =2x(x-2)\bigl((x-2)+x\bigr) =2x(x-2)(2x-2).

Passo 4

Basta agora avaliar em x=0 e x=2. Como f'(x)=2x(x-2)(2x-2), temos\r
f'(0)=2\cdot0\cdot(-2)\cdot(-2)=0, \qquad f'(2)=2\cdot2\cdot0\cdot2=0.\r
Isso mostra que a função atende aos requisitos.

Resposta

A função \r
f(x)=x^2\,(x-2)^2\r
é diferenciável em \mathbb{R} e satisfaz \,f'(0)=0 e \,f'(2)=0.

Exercícios relacionados