EXEMPLO 7-4 Um gerador CC de 12 polos tem uma armadura simplex com enrolamento ondulado contendo 144 bobinas de 10 espiras cada. A resistência de cada espira é 0,011 \Omega. Seu fluxo por polo é 0,05 \mathrm{~Wb} e ele está girando com uma velocidade de 200 rpm .
(d) Se um resistor de 1 \mathrm{k} \Omega for ligado aos terminais desse gerador, qual será o contraconjugado induzido resultante sobre o eixo da máquina? (Ignore a resistência de armadura interna da máquina).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • número de polos: P=12.
  • enrolamento: armadura simplex com enrolamento ondulado (wave) e 144 bobinas.
  • cada bobina tem 10 espiras (voltas).
  • resistência de cada espira: 0,011\\ \Omega (essa informação existe, mas o enunciado pede para ignorar a resistência de armadura interna — portanto não vamos usar essa resistência para calcular a corrente).
  • fluxo por polo: \Phi=0,05\\ \mathrm{Wb}.
  • velocidade de rotação: N=200\\ \mathrm{rpm}.
  • carga externa: resistor R_{\text{load}}=1\\ \text{k}\Omega = 1000\\ \Omega.
O que se pede:
  • (d) calcular o contraconjugado induzido (ou seja, o torque eletromagnético resistente) sobre o eixo da máquina quando o resistor de 1\\ \text{k}\Omega está ligado. (Ignorar resistência interna da armadura.)

Passo 2

Primeiro precisamos achar o número total de condutores ativos na armadura. Cada bobina tem 10 espiras; uma espira consiste em dois condutores sob os polos (lado positivo e lado negativo), então cada espira contribui com 2 condutores.
Número total de condutores Z:
Z = (\text{nº de bobinas})\times(\text{espiras por bobina})\times 2º
Z = 144 \times 10 \times 2 = 2880.
Expliquei: 144 bobinas \times 10 espiras = 1440 voltas; cada volta tem dois lados ativos, por isso 2880 condutores.

Passo 3

Para saber como a corrente e a tensão se repartem, precisamos do número de caminhos em paralelo na armadura ( A). Em enrolamento ondulado (wave winding) clássico o número de caminhos em paralelo é
A = 2.
Expliquei: em wave winding sempre há duas pistas paralelas do coletor, independentemente do número de polos, por isso A=2.

Passo 4

Fórmula do fluxo elétrico induzido (tensão gerada) numa máquina CC:
E = \dfrac{P\,\Phi\,Z\,N}{60\,A},
onde
  • E é a fem gerada em volts,
  • P é o número de polos,
  • \Phi é o fluxo por polo em \mathrm{Wb},
  • Z é o número total de condutores,
  • N é a velocidade em \mathrm{rpm},
  • A é o número de caminhos em paralelo.
Essa fórmula vem da ideia de que cada condutor corta fluxo a uma certa frequência e soma-se o efeito de todos os condutores divididos pelos caminhos em paralelo; é a fórmula padrão para geradores CC.

Passo 5

Agora aplico a fórmula com os valores encontrados:
E = \dfrac{12 \cdot 0,05 \cdot 2880 \cdot 200}{60 \cdot 2}.
Faço passo a passo:
12\cdot 0,05 = 0,6,
0,6\cdot 2880 = 1728,
1728\cdot 200 = 345600,
60\cdot 2 = 120,
E = \dfrac{345600}{120} = 2880\\ \text{V}.
Portanto a tensão gerada indiferente à resistência interna é \,E=2880\\ \text{V}.

Passo 6

Com a resistência interna ignorada, a corrente que circula pela carga externa é dada por
I = \dfrac{E}{R_{\text{load}}}.
Substituindo:
I = \dfrac{2880}{1000} = 2,88\\ \text{A}.
Expliquei: Como não consideramos queda interna, toda a fem aparece na carga, logo I=E/R.

Passo 7

Agora vamos relacionar potência elétrica gerada com o torque mecânico (contraconjugado) na máquina. A potência elétrica entregue pela armadura (neglectando perdas) é
P_{\text{el}} = E\cdot I.
Essa potência elétrica é a taxa de conversão da potência mecânica pelo torque eletromagnético T atuando à velocidade angular \omega:
P_{\text{mec}} = T\cdot \omega.
Em regime ideal (sem perdas consideradas) P_{\text{el}}=P_{\text{mec}}. Logo
T = \dfrac{E\cdot I}{\omega}.
Expliquei: essa é uma maneira simples e robusta de obter o torque: energia por unidade de tempo convertida dividida pela velocidade angular dá o torque.

Passo 8

Calculo a velocidade angular \omega a partir de N (rpm):
\omega = 2\pi \dfrac{N}{60}.
Substituindo N=200:
\omega = 2\pi \dfrac{200}{60} = \dfrac{400\pi}{60} = \dfrac{20\pi}{3}\\ \text{rad/s}.

Passo 9

Substituo todos os valores na expressão do torque:
T = \dfrac{E\cdot I}{\omega} = \dfrac{2880 \cdot 2,88}{\,\dfrac{20\pi}{3}\,}.
Posso simplificar o numerador:
2880\cdot 2,88 = 8294,4.
Então
T = \dfrac{8294,4}{\dfrac{20\pi}{3}}.
(Não calcular a divisão final aqui — o resultado numérico final está na seção de resposta.)

Resposta

396,25\\ \text{N·m}

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