Exemplo 1.9. Identifique a cônica: x^{2}-2 x y+y^{2}-2 x-2 y+1=0

Solução:

  • Coeficientes: A=1, B=-2, C=1.
  • \Delta=(-2)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0 (tipo parabólico)
  • Não possui centro (sistema incompatível para translação)
  • Conclusão: Parábola

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Enunciado: a cônica dada por x^{2}-2xy+y^{2}-2x-2y+1=0.
  • Pergunta: identificar que tipo de cônica é (elipse, hipérbole ou parábola) e, se possível, obter sua forma canônica e algumas características (vértice, eixo, direção).
Informações extraídas dos coeficientes (peguei-os diretamente da equação):
  • A=1 (coeficiente de x^{2}),
  • B=-2 (coeficiente de xy),
  • C=1 (coeficiente de y^{2}),
  • D=-2 (coeficiente de x),
  • E=-2 (coeficiente de y),
  • F=1 (termo constante).

Passo 2

Classificação rápida usando o discriminante da parte quadrática.
Pequena aula: para a cônica geral \,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,, o discriminante da parte quadrática é
\Delta = B^{2}-4AC.
  • Se \Delta>0 → hipérbole.
  • Se \Delta<0 → elipse (ou circunferência se A=C e B=0).
  • Se \Delta=0 → tipo parabólico (parábola).
Vamos calcular aqui:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 4-4 = 0.
Portanto a parte quadrática é degenerada no sentido de ter \Delta=0, o que indica que, a princípio, trata-se de uma cônica do tipo parábola.

Passo 3

Verificação da existência de centro (trabalhar a tradução).
Pequena aula: uma cônica tem centro quando é possível eliminar os termos lineares por uma translação (x,y)\mapsto(X+ x_0,\,Y+ y_0)\). Os \(x_0,y_0\) devem satisfazer o sistema linear (obtido igualando a derivada linearizada a zero): \[\begin{cases} 2A x_0 + B y_0 + D = 0,\\[4pt] B x_0 + 2C y_0 + E = 0. \end{cases}
Se esse sistema for compatível (tem solução única), há um centro; se for incompatível ou indeterminado no contexto, não há centro (parábolas não têm centro).
Aplique aos coeficientes:
\begin{cases} 2\cdot1\cdot x_0 + (-2)\,y_0 + (-2) = 0,\\[4pt] (-2)\,x_0 + 2\cdot1\cdot y_0 + (-2) = 0. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} 2x_0 -2y_0 -2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_0 - y_0 = 1,\\[4pt] -2x_0 +2y_0 -2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -x_0 + y_0 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_0 - y_0 = -1. \end{cases}
As duas equações dão x_0-y_0=1\] e simultaneamente \(x_0-y_0=-1, contradição. Logo o sistema é incompatível: não existe centro. Isso é coerente com a classificação \Delta=0 (parábola).]

Passo 4

Eliminar o termo misto xy por uma rotação apropriada — método e substituição prática.
Pequena aula sobre rotação: se houver termo xy é útil fazer uma rotação de eixos por um ângulo \theta tal que \tan 2\theta = \dfrac{B}{A-C}. Aqui A=C, então o denominador é zero e \tan 2\theta é infinito, o que dá 2\theta=\pm \tfrac{\pi}{2} e portanto \theta=\pm \tfrac{\pi}{4} (rotacionar \pm 45^\circ).
Substituição prática (mais simples do que trabalhar com seno e cosseno normalizados): usar as coordenadas
u = x+y,\qquad v = x-y.
Explicação rápida: essa substituição corresponde à rotação de 45^\circ (sem a normalização por \sqrt{2}); dá uma forma muito simples para x^{2}-2xy+y^{2} porque
x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}=v^{2}.
Também observe que
-2x-2y = -2(x+y) = -2u.
Então substituindo na equação original (peguei essas expressões diretamente fazendo a troca u=x+y,\;v=x-y):
v^{2} - 2u + 1 = 0.

Passo 5

Colocar a forma canônica e interpretar geometricamente.
A partir de
v^{2} - 2u + 1 = 0
podemos isolar u\): \[u = \tfrac{1}{2}v^{2} + \tfrac{1}{2}.
Pequena aula sobre forma canônica da parábola: a forma padrão (no sistema (u,v)) é
v^{2} = 4p\,(u - u_{0}),
onde (u_{0},0) é o vértice e p é a distancia focal (foco em (u_{0}+p,0), diretriz u = u_{0}-p). Comparando com a nossa equação reorganizada:
v^{2} = 2\,(u - \tfrac{1}{2}),
vemos que 4p=2, logo p=\tfrac{1}{2}, e o vértice é (u_{0},v_{0})=(\tfrac{1}{2},0) no sistema (u,v).
Voltar para as coordenadas originais (x,y). Lembrando que
u = x+y,\qquad v = x-y,
o vértice (u,v)=(\tfrac{1}{2},0) dá o sistema
\begin{cases} x+y = \tfrac{1}{2},\\\ x-y = 0, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad x=y=\tfrac{1}{4}.
Portanto o vértice é (\bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\bigr)].
Mais características (úteis na prova):
  • Eixo da parábola: linha v=0, isto é x-y=0 (reta x=y).
  • A parábola abre na direção de u crescente, isto é ao longo do vetor (1,1) (abre no sentido em que x+y aumenta).
  • Foco (opcional): no sistema (u,v) o foco é (u_{0}+p,0)=(1,0), que em (x,y) corresponde a x=y=\tfrac{1}{2}.
  • Diretriz (opcional): em (u,v) é u=0, em (x,y) é x+y=0.

Passo 6

Recapitulando a linha de raciocínio — como usar isso na prova (dica amigável).
  • Primeiro calcule \Delta=B^{2}-4AC. Se der zero, suspeite de parábola. Isso é rápido e decisivo.
  • Se houver termo xy, faça rotação: usar \tan 2\theta = B/(A-C). No caso especial A=C use \theta=\pm\pi/4 e a substituição u=x+y,\;v=x-y que simplifica muito.
  • Se quiser o vértice e eixo, passe à forma em (u,v), identifique u_{0} e p, depois volte às coordenadas originais resolvendo x,y a partir de u,v.
Força aí — com esse passo a passo fica bem direto identificar e colocar a parábola na forma canônica.

Resposta

Parábola

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