Exemplo 1.9. Identifique a cônica:
Solução:
- Coeficientes:
.
-
(tipo parabólico)
- Não possui centro (sistema incompatível para translação)
- Conclusão: Parábola
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Enunciado: a cônica dada por
- Pergunta: identificar que tipo de cônica é (elipse, hipérbole ou parábola) e, se possível, obter sua forma canônica e algumas características (vértice, eixo, direção).
Informações extraídas dos coeficientes (peguei-os diretamente da equação):
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo constante).
Passo 2
Classificação rápida usando o discriminante da parte quadrática.
Pequena aula: para a cônica geral
, o discriminante da parte quadrática é
- Se
→ hipérbole. - Se
→ elipse (ou circunferência se e ). - Se
→ tipo parabólico (parábola).
Vamos calcular aqui:
Portanto a parte quadrática é degenerada no sentido de ter
, o que indica que, a princípio, trata-se de uma cônica do tipo parábola.
Passo 3
Verificação da existência de centro (trabalhar a tradução).
Pequena aula: uma cônica tem centro quando é possível eliminar os termos lineares por uma translação
Se esse sistema for compatível (tem solução única), há um centro; se for incompatível ou indeterminado no contexto, não há centro (parábolas não têm centro).
Aplique aos coeficientes:
Simplificando:
As duas equações dão
, contradição. Logo o sistema é incompatível: não existe centro. Isso é coerente com a classificação
(parábola).]
Passo 4
Eliminar o termo misto
por uma rotação apropriada — método e substituição prática.
Pequena aula sobre rotação: se houver termo
é útil fazer uma rotação de eixos por um ângulo
tal que
. Aqui
, então o denominador é zero e
é infinito, o que dá
e portanto
(rotacionar
).
Substituição prática (mais simples do que trabalhar com seno e cosseno normalizados): usar as coordenadas
Explicação rápida: essa substituição corresponde à rotação de
(sem a normalização por
); dá uma forma muito simples para
porque
Também observe que
Então substituindo na equação original (peguei essas expressões diretamente fazendo a troca
):
Passo 5
Colocar a forma canônica e interpretar geometricamente.
A partir de
podemos isolar
Pequena aula sobre forma canônica da parábola: a forma padrão (no sistema
) é
onde
é o vértice e
é a distancia focal (foco em
, diretriz
). Comparando com a nossa equação reorganizada:
vemos que
, logo
, e o vértice é
no sistema
.
Voltar para as coordenadas originais
. Lembrando que
o vértice
dá o sistema
Portanto o vértice é (\bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\bigr)].
Mais características (úteis na prova):
- Eixo da parábola: linha
, isto é (reta ). - A parábola abre na direção de
crescente, isto é ao longo do vetor (abre no sentido em que aumenta). - Foco (opcional): no sistema
o foco é , que em corresponde a . - Diretriz (opcional): em
é , em é .
Passo 6
Recapitulando a linha de raciocínio — como usar isso na prova (dica amigável).
- Primeiro calcule
. Se der zero, suspeite de parábola. Isso é rápido e decisivo. - Se houver termo
, faça rotação: usar . No caso especial use e a substituição que simplifica muito. - Se quiser o vértice e eixo, passe à forma em
, identifique e , depois volte às coordenadas originais resolvendo a partir de .
Força aí — com esse passo a passo fica bem direto identificar e colocar a parábola na forma canônica.
Resposta
Parábola