Exemplo 1.11 (Antena Parabólica). Uma antena parabólica tem foco a 2 metros do vértice. Encontre a equação da parábola e a profundidade da antena se a abertura tem 6 metros de diâmetro.
Solução:
Considerando o vértice na origem (0,0) e abertura para a direita (eixo x), p=2.
Equação: y^{2}=4 p x \Rightarrow y^{2}=8 x.
A abertura total é 6 m , então a semi-abertura é y=3.
Para y=3: 3^{2}=8 x \Rightarrow 9=8 x \Rightarrow x=9 / 8=1.125 \mathrm{~m}.
Profundidade: 1.125 metros
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
Dado: o foco da antena parabólica está a 2 metros do vértice.
Dado: a abertura (diâmetro) da boca da antena é 6 metros.
Convenção usada no enunciado: colocar o vértice na origem (0,0) e a parábola abre para a direita (eixo x).
O que pedir:
Encontrar a equação da parábola.
Encontrar a profundidade da antena (distância do vértice até a borda ao longo do eixo).
Passo 2
Entender a definição geométrica que leva à forma padrão da equação. Por definição, uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Colocando o vértice na origem e a parábola abrindo para a direita:
Coloca-se o foco em (p,0), onde p é a distância do vértice ao foco.
A diretriz correspondente é a reta vertical x=-p (distância p do vértice para o outro lado).
Para qualquer ponto genérico (x,y) da parábola, a distância ao foco e à diretriz são iguais:
\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}=\bigl|x+p\bigr|.
Agora vamos manipular essa igualdade passo a passo (isso é um truque padrão que vale para qualquer parábola com vértice na origem e eixo x).
Passo 3
Elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz (atenção ao valor absoluto, mas para pontos da parábola com x\ge 0 temos |x+p|=x+p; o desenvolvimento contínuo dá a forma padrão):
(x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}.
Expandindo os quadrados:
x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}=x^{2}+2px+p^{2}.
Cancelar x^{2} e p^{2} dos dois lados:
-2px+y^{2}=2px.
Agrupando os termos em x:
y^{2}=4px.
Essa é a forma padrão da parábola com vértice em (0,0) e foco em (p,0): a constante p controla o “abertura” (quanto maior p, mais “lenta” a abertura).
Passo 4
Aplicar os dados do problema: o foco está a 2 metros do vértice, logo p=2. Substituindo em \;y^{2}=4px\; obtemos a equação específica:
y^{2}=4\cdot 2\cdot x \quad\Rightarrow\quad y^{2}=8x.
Passo 5
Interpretar a abertura (diâmetro) da antena: a abertura total é 6 m, então a semi‑abertura (meio diâmetro, ou raio da boca) é y=3 m. Esse valor de y corresponde à meia‑altura da boca da parábola; o ponto da borda tem coordenadas (x,y)=(\text{profundidade},3). Substituindo y=3 em \;y^{2}=8x\;:
Interpretação final do resultado: o valor x=\dfrac{9}{8}=1,125\\ \text{m} é a distância do vértice até a borda ao longo do eixo x, ou seja, a profundidade da antena. Boa notícia: a antena é rasa — cerca de 1{,}125 m — então cabe fácil num quintal 😉