Exemplo 3.0.9. O limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de função de duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
para verificar existência do limite em múltiplas variáveis. Vamos usar o critério de comparação de caminhos: se ao aproximar (x,y)\to(0,0) por duas retas diferentes obtivermos resultados distintos, o limite não existe.

Passo 2

Considere a reta y=x. Substituindo em \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}} temos
\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12.
Logo
\lim_{(x,x)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}} =\frac12.

Passo 3

Agora considere a reta y=-x. Substituindo em \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
\frac{x\cdot(-x)}{x^{2}+(-x)^{2}} =\frac{-x^{2}}{2x^{2}} =-\frac12.
Logo
\lim_{(x,-x)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}} =-\frac12.

Passo 4

Como pelas duas retas de aproximação obtivemos valores diferentes ( \tfrac12 e -\tfrac12), o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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