Dê um exemplo de uma matriz R, m \times n, em forma escada reduzida, satisfazendo a condição dada ou explique porque não é possível encontrar tal matriz.
(a) m=3, n=4 e o sistema de equações lineares R x=b possui solução para todo b.
(b) m=3, n=4 e o sistema de equações lineares R x=b possui solução única.

Passo 1

O enunciado pede para dar um exemplo de matriz R em forma escalonada reduzida de dimensão 3\times4 que satisfaça duas condições:
(a) o sistema R x=b é compatível para todo b\in\mathbb{R}^3;
(b) o sistema R x=b tem solução única.
Para responder usamos o conceito de posto (rank) de uma matriz: em forma escalonada reduzida, o número de pivôs é igual ao posto, e um sistema R x=b é sempre compatível se \mathrm{rank}(R)=m e tem solução única se \mathrm{rank}(R)=n.

Passo 2

Para (a) precisamos de \mathrm{rank}(R)=m=3. Em forma escalonada reduzida isso significa ter três pivôs, um em cada linha. Uma escolha simples é colocar a identidade 3\times3 nas três primeiras colunas e zeros na última:
R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Essa matriz já está em forma escalonada reduzida e possui três pivôs.

Passo 3

Como \mathrm{rank}(R)=3=m, para qualquer vetor b\in\mathbb{R}^3 o sistema R x=b é compatível. De fato, as três primeiras variáveis x_1,x_2,x_3 são determinadas pelos três pivôs e a variável x_4 fica livre, gerando infinitas soluções, mas sempre existirá pelo menos uma.

Passo 4

Para (b) exigir solução única para todo b requer \mathrm{rank}(R)=n=4. Porém uma matriz 3\times4 tem posto no máximo igual ao número de linhas, isto é, \mathrm{rank}(R)\le3<4. Logo é impossível alcançar posto 4 e não existe matriz 3\times4 em forma escalonada reduzida que torne o sistema R x=b unicamente solucionável.

Resposta

(a) Um exemplo é
R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
que garante \mathrm{rank}(R)=3 e compatibilidade para todo b.
(b) Não existe tal matriz, pois em dimensão 3\times4 temos sempre \mathrm{rank}(R)\le3<4, impedindo solução única.

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