Considere o sistema de equações lineares A x=b. Seja B a matriz ampliada do sistema, ou seja, B=[A \mid b]. Analise cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira prove, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se B possui uma linha formada somente por zeros, então existe mais de uma solução para o sistema
Passo 1
O enunciado considera o sistema linear A x = b e sua matriz ampliada B = [A \mid b]. A afirmação é: “Se B possui uma linha formada somente por zeros, então existe mais de uma solução para o sistema”. Vamos ver se essa conclusão é válida lendo teoria de existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Lembrete teórico: o sistema A x = b tem
nenhuma solução se \rank(A)<\rank(B),
infinitas soluções se \rank(A)=\rank(B)<n,
solução única se \rank(A)=\rank(B)=n,
onde n é o número de incógnitas. Uma linha zero em B significa apenas que uma equação é 0=0, logo \rank(B) caiu em relação ao número de linhas originais, mas isso não impõe necessariamente \rank(A)<n.
Passo 3
Para haver mais de uma solução precisamos de \rank(A)=\rank(B)<n. A linha zero em B garante \rank(B)\le m-1 (se havia m linhas), mas se m>n for suficientemente grande, ainda pode acontecer de \rank(A)=n. Assim, mesmo com uma linha toda zero em B, é possível manter \rank(A)=n e ter solução única.
Passo 4
Contra-exemplo concreto:
Considere três equações e duas incógnitas x,y: