Exemplo 5.1.3. Seja F(t)=f\left(e^{t^{2}}, \operatorname{sen}(t)\right) onde f(x, y) é uma função diferenciável em \mathbb{R}^{2}.
(a) Expresse F^{\prime}(t) em termos das derivadas parciais de f.
Observe que F(t)=f(x, y) onde x(t)=e^{t^{2}} e y(t)=\operatorname{sen}(t). Sabendo que
\begin{aligned} & \frac{d F}{d t}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t), y(t)) \frac{d x}{d t}(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t), y(t)) \frac{d y}{d t}(t) . \text { Daí, } \frac{d x}{d t}=2 t e^{t^{2}} \mathrm{e} \frac{d y}{d t}=\cos (t) \\\ & F^{\prime}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) 2 t e^{t^{2}}+\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \cos (t)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(e^{t^{2}}, \operatorname{sen}(t)\right) 2 t e^{t^{2}}+\frac{\partial f}{\partial y}\left(e^{t^{2}}, \operatorname{sen}(t)\right) \cos (t) . \end{aligned}í
(b) Calcule F^{\prime}(0) supondo que \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=5.
F^{\prime}(0)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) \cdot 0+\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) \cdot 1=5

Passo 1

O enunciado define
F(t)=f\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen}(t)\bigr)
onde f é diferenciável em \mathbb{R}^2.
O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis, usando as derivadas parciais de f e as derivadas de x(t)=e^{t^2} e y(t)=\operatorname{sen}(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e de y(t):
\frac{dx}{dt}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}\bigr) =2t\,e^{t^{2}},
\frac{dy}{dt}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr) =\cos(t).

Passo 3

Pela regra da cadeia para F(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr), temos
F'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\frac{dx}{dt}(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\frac{dy}{dt}(t).
Substituindo x(t)=e^{t^2} e y(t)=\operatorname{sen}(t), obtém-se
F'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen}(t)\bigr)\,2t\,e^{t^{2}} +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen}(t)\bigr)\,\cos(t).

Passo 4

Para t=0, temos e^{0^2}=1, \operatorname{sen}(0)=0, 2t\,e^{t^{2}}\big|_{t=0}=0 e \cos(0)=1.
Logo,
F'(0) =\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)\cdot 0 +\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)\cdot 1 =\frac{\partial f}{\partial y}(1,0).
Como foi dado \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=5, resulta F'(0)=5.

Resposta

(a) F'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen}(t)\bigr)\,2t\,e^{t^{2}} +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen}(t)\bigr)\,\cos(t).
(b) F'(0)=5.

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