Dê exemplo de uma série convergente \sum a_{n} e de uma sequência limitada \left(b_{n}\right) tal que \sum a_{n} b_{n} não converge.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de:
  • uma série convergente \sum a_{n};
  • uma sequência limitada \left(b_{n}\right);
    tais que a série \sum a_{n} b_{n} não converge.
Vou dar um par explícito \bigl(a_{n}\bigr) e \bigl(b_{n}\bigr) e provar, passo a passo, que satisfazem as condições acima.

Passo 2

Escolho as sequências
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n},\qquad b_{n}=(-1)^{n}.
Agora vamos verificar as três propriedades pedidas.

Passo 3

Mostrar que \sum a_{n}=\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n} converge.
Explicação da ideia usada (Teste de Leibniz / série alternada): se uma sequência \bigl(u_{n}\bigr) satisfaz
  1. u_{n}\ge 0 para todo n,
  2. u_{n+1}\le u_{n} (isto é, u_{n} é monótona não crescente), e
  3. \lim_{n\to\infty}u_{n}=0,
    então a série \sum (-1)^{n}u_{n} converge.
Aqui tome u_{n}=\dfrac{1}{n}. Verificações:
  • u_{n}\ge 0 para todo n.
  • u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}=u_{n}, então é monótona decrescente.
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Pelo teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}
converge. (É a série harmônico-alternante, que converge condicionalmente.)

Passo 4

Mostrar que a sequência \bigl(b_{n}\bigr) é limitada.
Temos |b_{n}|=\bigl|(-1)^{n}\bigr|=1 para todo n. Logo a sequência é limitada — por exemplo, está contida no intervalo [-1,1].

Passo 5

Mostrar que \sum a_{n}b_{n} não converge.
Calcule o termo geral do produto:
a_{n}b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}\cdot(-1)^{n}=\frac{(-1)^{2n}}{n}=\frac{1}{n}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. Vou lembrar por que a série harmônica diverge (prova clássica por agrupamento):
Considere as somas parciais até 2^{m}:
\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n} =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{m}}\right).
Em cada grupo da forma \left(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{j}}\right) 2^{j-1} termos, cada um maior ou igual a \dfrac{1}{2^{j}}. Assim cada grupo é ao menos \dfrac{1}{2}. Logo
\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}\ge 1+\frac{m}{2},
que tende a +\infty quando m\to\infty. Portanto a série harmônica diverge, e assim \sum a_{n}b_{n} diverge.

Passo 6

Conclusão final: a escolha \;a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}\; e \;b_{n}=(-1)^{n}\; satisfaz tudo que foi pedido:
  • \sum a_{n} converge (alternating series / Leibniz);
  • \left(b_{n}\right) é limitada ( |b_{n}|=1);
  • \sum a_{n}b_{n} diverge (é a série harmônica).
Força aí — esse tipo de exemplo é bem padrão e aparece muito em provas; memoriza que sequências com sinais cancelantes podem “descancelar” ao multiplicar por outra sequência de sinais.

Resposta

\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}
\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}

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