Em cada grupo da forma \left(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{j}}\right) há 2^{j-1} termos, cada um maior ou igual a \dfrac{1}{2^{j}}. Assim cada grupo é ao menos \dfrac{1}{2}. Logo
\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}\ge 1+\frac{m}{2},
que tende a +\infty quando m\to\infty. Portanto a série harmônica diverge, e assim \sum a_{n}b_{n} diverge.
Passo 6
Conclusão final: a escolha \;a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}\; e \;b_{n}=(-1)^{n}\; satisfaz tudo que foi pedido:
\sum a_{n} converge (alternating series / Leibniz);
\left(b_{n}\right) é limitada (|b_{n}|=1);
\sum a_{n}b_{n} diverge (é a série harmônica).
Força aí — esse tipo de exemplo é bem padrão e aparece muito em provas; memoriza que sequências com sinais cancelantes podem “descancelar” ao multiplicar por outra sequência de sinais.