Prove: uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se, e somente se, \sum\left|a_{n}\right| é convergente.

Passo 1

O enunciado pede que se prove a equivalência entre duas afirmações sobre uma série \sum a_{n}. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: uma sequência (a_{n}) (podem ser números reais ou complexos) e a série \sum a_{n}.
  • Pede-se: provar que a série \sum a_{n} é absolutamente convergente se, e somente se, \sum\left|a_{n}\right| é convergente.
Ou seja, mostrar a equivalência lógica
\text{``}\sum a_{n}\\ \text{é absolutamente convergente''}\quad\iff\quad\sum\left|a_{n}\right|\\ \text{converge.}é

Passo 2

Primeiro vou explicar direitinho as definições que precisamos — passo importante, porque sem definir não dá para provar nada.
  • Definição de série e de convergência de série: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} tem associada a sequência de somas parciais
s_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}.
Dizemos que a série \sum a_{n} converge se a sequência (s_{N}) converge para algum número finito s quando N\to\infty.
  • Definição de convergência absoluta: por definição, a série \sum a_{n} é chamada absolutamente convergente se a série formada pelos módulos das parcelas,
\sum_{n=1}^{\infty} \left|a_{n}\right|,
converge (ou seja, as suas somas parciais \sum_{n=1}^{N}\left|a_{n}\right| têm limite finito quando N\to\infty). Aqui \left|a_{n}\right| significa o valor absoluto (ou módulo, no caso complexo) de a_{n}.
Já com essas definições, a equivalência pedida fica muito clara: uma afirmação é literalmente a definição da outra. Vou formalizar isso em seguida, e em anexo mostrar um resultado útil que costuma acompanhar essa definição (mas não pedido explicitamente): convergência absoluta implica convergência simples.

Passo 3

Prova direta da bicondicional (parte fácil, por definição).
  • ( \Rightarrow ) Se a série \sum a_{n} é absolutamente convergente, então, por definição de “absolutamente convergente”, a série \sum\left|a_{n}\right| converge. Portanto esta implicação é imediata pela própria definição.
  • ( \Leftarrow ) Se \sum\left|a_{n}\right| converge, então, novamente pela definição, diz-se que a série \sum a_{n} é absolutamente convergente. Portanto esta implicação também é imediata pela mesma definição.
Conclusão dessa parte: as duas afirmações são equivalentes porque “ser absolutamente convergente” é definido como “ter a série dos módulos convergente”.

Passo 4

Como isso pode parecer trivial (porque é realmente trivial pela definição), vale aproveitar para ensinar um resultado ligado que costuma aparecer nas provas e que é importante entender: se \sum\left|a_{n}\right| converge então \sum a_{n} converge (convergência absoluta implica convergência simples). Vou provar esse fato passo a passo — isso é útil na hora da prova.
  • Começo lembrando um critério equivalente de convergência de séries: a série \sum b_{n} converge se, e somente se, as somas parciais formam uma sequência de Cauchy; isto é,
\forall \varepsilon>0\\ \exists N\\ \text{tal que}\\ m,n\ge N\implies\left|\sum_{k=m+1}^{n} b_{k}\right|<\varepsilon.
  • Agora suponha que \sum\left|a_{n}\right| converge. Então a série \sum\left|a_{n}\right| satisfaz o critério de Cauchy: para dado \varepsilon>0 existe N tal que, para todo m,n\ge N,
\sum_{k=m+1}^{n}\left|a_{k}\right|<\varepsilon.
  • Pela desigualdade triangular (aplicada às somas finitas), para os mesmos m,n temos
\left|\sum_{k=m+1}^{n} a_{k}\right|\le \sum_{k=m+1}^{n}\left|a_{k}\right|<\varepsilon.
  • Assim as somas parciais da série \sum a_{n} também formam uma sequência de Cauchy, logo \sum a_{n} converge. Isso prova que convergência absoluta implica convergência simples.
Esse argumento é muito útil: na prova, às vezes pedem para mostrar que uma série converge e a estratégia é mostrar que a série dos módulos converge (teste de comparação, critério de d’Alembert, raiz, etc.), e então usar que isso garante a convergência da série original.

Passo 5

Para fixar a ideia, um exemplo rápido (didático):
  • A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge.
  • A série alternada harmônica \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} converge (teorema de Leibniz), mas não converge absolutamente, pois a série dos módulos é exatamente a série harmônica que diverge. Esse é um exemplo clássico de série que converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente). Isso ilustra a diferença entre “convergência” e “convergência absoluta”.

Passo 6

Resumo final da prova: a afirmação pedida é verdadeira e é uma equivalência direta pela definição de “absolutamente convergente”. Como complemento útil (fato frequentemente usado em provas), se \sum\left|a_{n}\right| converge então \sum a_{n} também converge, pela desigualdade triangular e o critério de Cauchy.

Resposta

Verdadeiro: por definição, “ \sum a_{n} é absolutamente convergente” significa exatamente que \sum\left|a_{n}\right| converge.

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