Dê um exemplo de:
Uma série \sum a_{n} que satisfaz \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}= 0 , mas que não seja convergente. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma série \sum a_{n} tal que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 e, mesmo assim, a série não seja convergente. Ou seja:
Pergunta: encontrar uma série cujos termos vão a zero, mas cuja soma infinita diverge.
Informação dada: a única restrição é que a_n\to0; não há outras condições.
Passo 2
Vou propor a série clássica e mais simples para esse propósito: a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Agora vamos checar as duas partes: (i) mostrar que os termos \dfrac{1}{n} têm limite zero; (ii) mostrar que a série não converge.
Passo 3
Mostrar que os termos tendem a zero. Para a_n=\dfrac{1}{n} tem-se, por propriedades básicas dos limites,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
pois o denominador cresce sem limite e o numerador é fixo. Logo a condição \lim_{n\to\infty} a_n=0 está satisfeita.
Passo 4
Comentário importante (teste necessário): se uma série \sum a_n converge então é necessário que a_n\to0. Porém o recíproco não vale: a_n\to0 não garante convergência da série. A série harmônica é o exemplo padrão que mostra isso. Agora provamos que ela diverge.
Passo 5
Prova de divergência por agrupamento (argumento elementar e muito usado). Considere as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Agrupando os termos em blocos com comprimentos potências de 2:
Primeiro bloco: 1.
Segundo bloco: \dfrac{1}{2}.
Terceiro bloco: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}.
Quarto bloco: \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}.
Em geral, o k-ésimo bloco (para k\ge2) tem 2^{\,k-2} termos, que vão de 2^{\,k-1}+1 até 2^{\,k}.
Em cada bloco a soma é maior ou igual a um valor fixo: por exemplo, no bloco \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} cada termo é \ge \dfrac{1}{4}, então a soma do bloco é \ge 2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}. No bloco seguinte, cada termo é \ge \dfrac{1}{8} e há 4 termos, então a soma \ge 4\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}. Em geral, cada bloco (a partir do terceiro) tem soma \ge \dfrac{1}{2}.
Como k\to\infty faz 1+\dfrac{k}{2}\to\infty, segue que as somas parciais S_{2^{k}} crescem sem limite. Portanto a série harmônica diverge.
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido: mostramos que os termos \dfrac{1}{n} vão a zero (condição necessária), mas pelo agrupamento as somas parciais explodem — isto é, a série não converge. Isso confirma concretamente que o teste a_n\to0 é necessário, mas não suficiente. Se quiser, posso mostrar também a prova via teste integral ou discutir a família \sum 1/n^{p} (p-series) e quando elas convergem/divergem — isso ajuda muito na prova.