Considere a série
.
a) Determine a sequência das somas parciais
.
b) Ache a soma da série.
a) Determine a sequência das somas parciais
b) Ache a soma da série.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
- (a) determinar a sequência das somas parciais
, ou seja, ; - (b) achar a soma da série, isto é,
(se existir).
Informações relevantes dadas: o termo geral da soma parcial é
com
variando de
a
.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
desenvolvendo os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento (técnica chamada “telescoping”). Escrevendo a soma:
Agora observe termo a termo: o
do primeiro par cancela com o
do segundo par; o
do segundo cancela com o
do terceiro; e assim por diante. Esse é o efeito telescópico.
Passo 3
Depois dos cancelamentos, sobram apenas o primeiro termo positivo do primeiro par e o último termo negativo do último par. Logo
Para conferir com exemplos pequenos: se
então
; se
então
. Esses valores batem com a fórmula acima.
Passo 4
Agora calculamos a soma da série tomando o limite quando
. Usamos a expressão já encontrada para
:
Como
(o denominador cresce sem limite, então a fração tende a zero), obtemos
Comentário prático: a sequência
é crescente e limitada superiormente por
, portanto converge para
; isso confirma o resultado do limite.
Passo 5
Dica rápida para a prova: ao ver somas do tipo
já suspeite de telescópio — expanda os primeiros termos, verifique cancelamentos e escreva imediatamente a forma
(primeiro termo)
(último termo remanescente). Isso economiza tempo e evita contas desnecessárias.
Resposta
a)
b)