Considere a série \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
a) Determine a sequência das somas parciais s_{n}.
b) Ache a soma da série.

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) e pede duas coisas:
  • (a) determinar a sequência das somas parciais s_{n}, ou seja, s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right);
  • (b) achar a soma da série, isto é, \displaystyle\lim_{n\to\infty}s_{n} (se existir).
Informações relevantes dadas: o termo geral da soma parcial é \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} com k variando de 1 a n.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente s_{n} desenvolvendo os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento (técnica chamada “telescoping”). Escrevendo a soma:
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Agora observe termo a termo: o -\frac{1}{2} do primeiro par cancela com o +\frac{1}{2} do segundo par; o -\frac{1}{3} do segundo cancela com o +\frac{1}{3} do terceiro; e assim por diante. Esse é o efeito telescópico.

Passo 3

Depois dos cancelamentos, sobram apenas o primeiro termo positivo do primeiro par e o último termo negativo do último par. Logo
s_{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}.
Para conferir com exemplos pequenos: se n=1 então s_{1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}; se n=2 então s_{2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. Esses valores batem com a fórmula acima.

Passo 4

Agora calculamos a soma da série tomando o limite quando n\to\infty. Usamos a expressão já encontrada para s_{n}:
\lim_{n\to\infty}s_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right).
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0 (o denominador cresce sem limite, então a fração tende a zero), obtemos
\lim_{n\to\infty}s_{n}=1-0=1.
Comentário prático: a sequência s_{n}=1-\frac{1}{n+1} é crescente e limitada superiormente por 1, portanto converge para 1; isso confirma o resultado do limite.

Passo 5

Dica rápida para a prova: ao ver somas do tipo \sum(\text{algo}_{k}-\text{algo}_{k+1}) já suspeite de telescópio — expanda os primeiros termos, verifique cancelamentos e escreva imediatamente a forma s_{n}= (primeiro termo) - (último termo remanescente). Isso economiza tempo e evita contas desnecessárias.

Resposta

a) s_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}
b) \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1

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