Exemplo 2-6 Tempos Espaciais e Velocidades Espaciais de Reatores
Calcule o tempo espacial, \tau, e as velocidades espaciais para os reatores dos Exemplos 2-1 e 2-3, para uma vazão volumétrica de entrada de 2 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá apenas a vazão volumétrica de entrada \dot{V} = 2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s} e pede para calcular o tempo espacial \tau e as velocidades espaciais para os reatores dos Exemplos 2\text{-}1 e 2\text{-}3.
Informações relevantes fornecidas:
  • \dot{V} = 2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s} (peguei esta informação do enunciado).
Informações que faltam e são necessárias para obter valores numéricos:
  • O volume do reator do Exemplo 2\text{-}1, que vou chamar de V_{2-1}.
  • O volume do reator do Exemplo 2\text{-}3, que vou chamar de V_{2-3}.
Sem os valores de V_{2-1} e V_{2-3} não há como calcular números concretos para \tau e para as velocidades espaciais; portanto a resolução numérica completa depende desses volumes (ou de qualquer outra informação equivalente que permita obter os volumes). A seguir eu explico passo a passo COMO calcular, com fórmulas, conversões de unidades e exemplos ilustrativos para que você aplique direto na prova caso tenha os volumes.

Passo 2

O que é tempo espacial \tau e por que usamos a fórmula simples \tau = V/\dot{V}.
  • Intuição física: tempo espacial \tau (também chamado de residence time ou space time) é o tempo médio que uma porção de fluido leva para atravessar o reator, assumindo vazão constante. Se há um volume de reator V e entra volumetricamente \dot{V} por unidade de tempo, então o tempo médio dentro do reator é o volume dividido pela vazão.
  • Fórmula principal (usada tanto para CSTR quanto para PFR quando se quer apenas o tempo médio):
\tau=\frac{V}{\dot{V}}.
Explicando cada símbolo:
  • \tau é o tempo espacial (unidade de tempo, ex.: \mathrm{s} ou \mathrm{h}).
  • V é o volume do reator (unidade de volume, ex.: \mathrm{dm}^{3}, \mathrm{L}, \mathrm{m}^{3}).
  • \dot{V} é a vazão volumétrica de entrada (unidade de volume por tempo, ex.: \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}, \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).
  • Velocidade espacial (definição usual neste contexto): é o inverso do tempo espacial. Ou seja,
\text{space velocity} = \frac{1}{\tau} = \frac{\dot{V}}{V}.
Explicação: enquanto \tau tem unidade de tempo, a velocidade espacial tem unidade de \mathrm{time}^{-1} (por exemplo \mathrm{s}^{-1} ou \mathrm{h}^{-1}). Em engenharia de reatores há variantes (GHSV, WHSV) que usam condições específicas, mas aqui a definição básica é esta.

Passo 3

Converter a vazão dada para formas úteis e checar unidades (sempre importante fazer isso na prova).
  • Dado: \dot{V} = 2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}.
  • Lembrando: 1\\ \mathrm{dm}^{3}=1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Logo:
\dot{V} = 2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s} = 2\\ \mathrm{L}/\mathrm{s} = 2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Se for conveniente trabalhar em horas (muito usado em catalisadores), converte-se:
\dot{V} = 2\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}\times 3600\\ \mathrm{s/h} = 7200\\ \mathrm{L}/\mathrm{h} = 7{,}2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
Observação prática: escolha unidades de volume compatíveis com os volumes V_{2-1} e V_{2-3} do enunciado (se os volumes estiverem em \mathrm{dm}^{3} ou \mathrm{L}, mantenha \dot{V} em \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s} ou \mathrm{L}/\mathrm{s} para evitar conversões desnecessárias durante a prova).

Passo 4

Aplicar a fórmula geral aos dois exemplos (forma simbólica — você só precisa substituir os volumes que estão nos Exemplos 2\text{-}1 e 2\text{-}3).
Para o Exemplo 2\text{-}1, com volume V_{2-1}:
\tau_{2-1}=\frac{V_{2-1}}{\dot{V}}, \qquad \text{velocidade espacial}_{2-1}=\frac{1}{\tau_{2-1}}=\frac{\dot{V}}{V_{2-1}}.
Para o Exemplo 2\text{-}3, com volume V_{2-3}:
\tau_{2-3}=\frac{V_{2-3}}{\dot{V}}, \qquad \text{velocidade espacial}_{2-3}=\frac{1}{\tau_{2-3}}=\frac{\dot{V}}{V_{2-3}}.
Substituindo a vazão numérica \dot{V}=2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s} fica:
\tau_{2-1}=\frac{V_{2-1}}{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}},\qquad \text{velocidade espacial}_{2-1}=\frac{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}}{V_{2-1}},
\tau_{2-3}=\frac{V_{2-3}}{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}},\qquad \text{velocidade espacial}_{2-3}=\frac{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}}{V_{2-3}}.

Passo 5

Exemplos numéricos ilustrativos (para treinar e ver a conta “mastigada” na prova). Suponha que você encontre no Exemplo 2\text{-}1 que V_{2-1}=10\\ \mathrm{dm}^{3} e no Exemplo 2\text{-}3 que V_{2-3}=0{,}5\\ \mathrm{dm}^{3}. Então:
  • Para V_{2-1}=10\\ \mathrm{dm}^{3}:
\tau_{2-1}=\frac{10\\ \mathrm{dm}^{3}}{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}}=5\\ \mathrm{s}.
\text{velocidade espacial}_{2-1}=\frac{1}{5\\ \mathrm{s}}=0{,}2\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Para V_{2-3}=0{,}5\\ \mathrm{dm}^{3}:
\tau_{2-3}=\frac{0{,}5\\ \mathrm{dm}^{3}}{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}}=0{,}25\\ \mathrm{s}.
\text{velocidade espacial}_{2-3}=\frac{1}{0{,}25\\ \mathrm{s}}=4\\ \mathrm{s}^{-1}.
Esses exemplos mostram que quanto maior o volume do reator, maior \tau (mais tempo de residência) e menor a velocidade espacial; quanto menor o volume, menor \tau e maior a velocidade espacial.

Passo 6

Observações finais e dicas de prova (prático e amigo aqui: respira, faz passo a passo).
  • Sempre verifique unidades: coloque V e \dot{V} nas mesmas unidades antes de dividir. Se V estiver em \mathrm{m}^{3}, use \dot{V} em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}; se V em \mathrm{L} (ou \mathrm{dm}^{3}), use \mathrm{L}/\mathrm{s}.
  • Se pedirem velocidade espacial em \mathrm{h}^{-1}, converta \dot{V} para \mathrm{L}/\mathrm{h} ou \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} antes de calcular \dot{V}/V.
  • Se o enunciado do Exemplo 2\text{-}1 ou 2\text{-}3 der dimensões do reator (por exemplo comprimento e área), calcule V primeiro (ex.: V = \text{área}\times\text{comprimento}á) e então aplique \tau=V/\dot{V}.
  • Se os Exemplos derem massa de catalisador em vez de volume, pode ser que queiram uma definição de WHSV ou LHSV; nesse caso a fórmula muda (WHSV = \dot{m}_{\text{alimento}}/ massa de catalisador, LHSV = \dot{V}/V_{\text{catalisador}} ) — verifique o que o livro usou no Exemplo para usar a definição correta.

Resposta

\tau_{2-1}=\dfrac{V_{2-1}}{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}},\quad \text{velocidade espacial}_{2-1}=\dfrac{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}}{V_{2-1}}
\tau_{2-3}=\dfrac{V_{2-3}}{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}},\quad \text{velocidade espacial}_{2-3}=\dfrac{2\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{s}}{V_{2-3}}

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