Considere o subespaço W de R^{3} gerado pelos vetores \mathrm{u}=(1,2,3) e \mathrm{v}= (0,1,1). Determine um sistema de equações lineares cuja solução seja um vetor w em W.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \mathrm{u}=(1,2,3) e \mathrm{v}=(0,1,1) em \mathbb{R}^{3} e define W como o subespaço gerado por esses vetores (ou seja, W=\text{span}\{\mathrm{u},\mathrm{v}\}).
O que se pede: determinar um sistema de equações lineares cuja solução seja exatamente um vetor w pertencente a W.
Informações relevantes dadas:
\mathrm{u}=(1,2,3).
\mathrm{v}=(0,1,1).
W=\{\,\alpha\mathrm{u}+\beta\mathrm{v}\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\}.
O objetivo é escrever equações lineares em termos das componentes de w=(x,y,z) que caracterizem precisamente os vetores de W.
Passo 2
Idéia básica (explicando o conceito): um vetor w pertence a W se, e somente se, existem escalares \alpha e \beta tais que
w=\alpha\mathrm{u}+\beta\mathrm{v}.
Aqui \alpha e \beta são números reais (coeficientes da combinação linear). Escrevendo w pelas suas componentes põe-se
w=(x,y,z).
Substituindo \mathrm{u} e \mathrm{v} na expressão de w obtemos equações componentes-por-componente:
Agora vamos eliminar os parâmetros \alpha e \beta para obter uma relação só entre x,y,z (ou seja, as equações lineares que caracterizam W).
Da primeira equação temos imediatamente
\alpha = x.
Substituindo em y=2\alpha+\beta obtemos
\beta = y-2\alpha = y-2x.
Agora substituímos \alpha e \beta na equação de z:
z=3\alpha+\beta = 3x + (y-2x).
Fazendo as contas:
z = 3x + y - 2x = x + y.
Reescrevendo como uma equação linear homogênea, obtemos
x + y - z = 0.
Passo 4
Interpretação do resultado: a equação \(x+y-z=0) é uma única equação linear homogênea em \(x,y,z). O conjunto de soluções dessa equação é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^{3}, e acabámos de mostrar que esse plano é precisamente W. Portanto, qualquer vetor w=(x,y,z) pertence a W se e somente se satisfaz
x+y-z=0.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): testar os geradores \mathrm{u} e \mathrm{v}.
Para \mathrm{u}=(1,2,3): 1+2-3=0, OK.
Para \mathrm{v}=(0,1,1): 0+1-1=0, OK.
Também um exemplo combinado: \mathrm{u}+\mathrm{v}=(1,3,4) e 1+3-4=0. Esses testes confirmam que os vetores geradores satisfazem a equação obtida.
Passo 6
Método alternativo (mais curto, só para mostrar outra visão): encontrar um vetor normal \mathrm{n} ortogonal a \mathrm{u} e \mathrm{v}. O produto vetorial \mathrm{u}\times\mathrm{v} dá esse normal:
que é equivalente a \(x+y-z=0), mesma equação que obtivemos antes.]
Passo 7
Interpretação final e dica prática para prova: basta apresentar a equação linear homogênea que descreve o plano gerado por \mathrm{u} e \mathrm{v}. Você pode chegar a ela parametrizando por \alpha,\beta e eliminando-os (método algébrico) ou calculando a normal via produto vetorial (método geométrico). Ambas as formas são rápidas e seguras em prova.