No Exemplo 6.3, o trigo é produzido em conformidade com a função de produção
q=100\left(K^{0,8} L^{0,2}\right)
a. Iniciando com insumo capital igual a 4 e insumo trabalho igual a 49, mostre que o produto marginal do trabalho e o produto marginal do capital são ambos decrescentes.
b. Será que essa função de produção exibe rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção de trigo
q = 100\bigl(K^{0,8}L^{0,2}\bigr)
e pede:
– (a) mostrar que o produto marginal do capital e do trabalho são decrescentes quando K=4 e L=49;
– (b) identificar se há rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes.
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto marginal (derivada parcial) e o teste de rendimentos de escala numa função de tipo Cobb–Douglas (soma dos expoentes).

Passo 2

Para obter o produto marginal do capital \text{MP}_K e do trabalho \text{MP}_L, derivamos q em relação a K e a L:
\text{MP}_K = \frac{\partial q}{\partial K} = 100 \cdot 0,8\,K^{0,8-1}L^{0,2} = 80\,K^{-0,2}L^{0,2},
\text{MP}_L = \frac{\partial q}{\partial L} = 100 \cdot 0,2\,K^{0,8}L^{0,8-1} = 20\,K^{0,8}L^{-0,8}.

Passo 3

Para verificar que esses produtos marginais são decrescentes, calculamos as segundas derivadas parciais e checamos o sinal em K=4, L=49:
\frac{\partial^2 q}{\partial K^2} = \frac{\partial}{\partial K}\bigl(80\,K^{-0,2}L^{0,2}\bigr) = 80\cdot(-0,2)\,K^{-1,2}L^{0,2} <0,
\frac{\partial^2 q}{\partial L^2} = \frac{\partial}{\partial L}\bigl(20\,K^{0,8}L^{-0,8}\bigr) = 20\cdot(-0,8)\,K^{0,8}L^{-1,8} <0.
Como ambas as segundas derivadas são negativas (o fator numérico é negativo e K^{-1,2}L^{0,2} e K^{0,8}L^{-1,8} são positivos), concluímos que \text{MP}_K e \text{MP}_L decrescem em K=4, L=49.

Passo 4

Para classificar os rendimentos de escala, somamos os expoentes da função Cobb–Douglas:
0,8 + 0,2 = 1,0.
Se a soma dos expoentes é igual a 1, a função exibe rendimentos de escala constantes.

Resposta

(a) Como \frac{\partial^2 q}{\partial K^2}<0 e \frac{\partial^2 q}{\partial L^2}<0 em K=4, L=49, os produtos marginais de capital e trabalho são decrescentes.
(b) A soma dos expoentes é 1,0, logo há rendimentos de escala constantes.

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