No Exemplo 6.3, o trigo é produzido em conformidade com a função de produção
a. Iniciando com insumo capital igual a 4 e insumo trabalho igual a 49, mostre que o produto marginal do trabalho e o produto marginal do capital são ambos decrescentes.
b. Será que essa função de produção exibe rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes?
b. Será que essa função de produção exibe rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes?
Passo 1
O enunciado dá a função de produção de trigo
e pede:
– (a) mostrar que o produto marginal do capital e do trabalho são decrescentes quando e
;
– (b) identificar se há rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes.
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto marginal (derivada parcial) e o teste de rendimentos de escala numa função de tipo Cobb–Douglas (soma dos expoentes).
– (a) mostrar que o produto marginal do capital e do trabalho são decrescentes quando
– (b) identificar se há rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes.
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto marginal (derivada parcial) e o teste de rendimentos de escala numa função de tipo Cobb–Douglas (soma dos expoentes).
Passo 2
Para obter o produto marginal do capital
e do trabalho
, derivamos
em relação a
e a
:
Passo 3
Para verificar que esses produtos marginais são decrescentes, calculamos as segundas derivadas parciais e checamos o sinal em
,
:
Como ambas as segundas derivadas são negativas (o fator numérico é negativo e
e
são positivos), concluímos que
e
decrescem em
,
.
Passo 4
Para classificar os rendimentos de escala, somamos os expoentes da função Cobb–Douglas:
Se a soma dos expoentes é igual a 1, a função exibe rendimentos de escala constantes.
Resposta
(a) Como
e
em
,
, os produtos marginais de capital e trabalho são decrescentes.
(b) A soma dos expoentes é , logo há rendimentos de escala constantes.
(b) A soma dos expoentes é