Dê exemplos de dois subconjuntos discretos X, Y \subset \mathbb{R}, tais que X \cup Y não seja discreto.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de dois subconjuntos X,Y\subset\mathbb{R} tais que cada um seja discreto (isto é, todo ponto de cada conjunto é isolado) e, apesar disso, a união X\cup Y não seja discreta.
Informações relevantes que temos de atender:
Precisamos escolher X e Y com pontos isolados internamente (cada ponto tem um intervalo que intersecta o conjunto só naquele ponto).
Ainda assim a união deve conter pelo menos um ponto que não seja isolado na união (ou seja, existe p\in X\cup Y tal que todo intervalo centrado em p contém outro ponto de X\cup Y).
Vou apresentar exemplos concretos e provar, passo a passo, por que cada conjunto é discreto e por que a união não é.
Agora vou mostrar que X é discreto, que Y é discreto, e que X\cup Y não é discreto.
Passo 3
Mostrando que X=\{0\} é discreto.
Um singleton em \mathbb{R} é sempre discreto: para o ponto 0\in X basta escolher qualquer r>0 pequeno (por exemplo r=1) e o intervalo (-r,r) intersecta X apenas em 0. Portanto todo ponto de X é isolado, logo X é discreto.
Passo 4
Mostrando que Y=\{1/n : n\in\mathbb{N}\} é discreto.
Tomemos um ponto genérico \tfrac{1}{n}\in Y. A ideia é encontrar um raio r_n>0 tal que o intervalo \left(\tfrac{1}{n}-r_n,\tfrac{1}{n}+r_n\right) contenha nenhum outro ponto de Y além de \tfrac{1}{n}.
Observe a diferença entre \tfrac{1}{n} e o vizinho imediatamente à direita \tfrac{1}{n+1}:
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.
Esse é o vizinho mais próximo (à direita) e é menor ou igual à distância ao vizinho à esquerda (quando existe). Assim basta tomar
Então o intervalo \left(\tfrac{1}{n}-r_n,\tfrac{1}{n}+r_n\right) não contém \tfrac{1}{n+1} nem nenhum outro \tfrac{1}{m} com m\neq n. Logo cada ponto \tfrac{1}{n} é isolado em Y, e Y é discreto.
Nota intuitiva: os pontos \tfrac{1}{n} ficam cada vez mais próximos de zero, mas cada um tem um intervalo próprio que o separa dos outros pontos do conjunto Y.
Passo 5
Mostrando que a união X\cup Y não é discreta.
A união é X\cup Y=\{0\}\cup\{1/n : n\in\mathbb{N}\}. O ponto crítico é 0\in X. Para que a união fosse discreta, 0 precisaria ser isolado na união, ou seja, existiria \varepsilon>0 tal que (-\varepsilon,\varepsilon)\cap (X\cup Y)=\{0\}.
Mas isso não ocorre, porque a sequência \tfrac{1}{n}\in Y converge a 0. Formalmente: dado qualquer \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que \tfrac{1}{N}<\varepsilon. Então \tfrac{1}{N}\in(-\varepsilon,\varepsilon)\cap (X\cup Y) e \tfrac{1}{N}\neq 0. Assim todo intervalo centrado em 0 contém pontos de Y distintos de 0, o que mostra que 0 não é isolado em X\cup Y. Portanto X\cup Y não é discreto.