Resolva as Edos de variáveis separaveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona a derivada
com e . - No lado direito aparece
no denominador e também no denominador, portanto devemos ter cuidado com pontos onde ou . - Não foi dada condição inicial, então procuramos a solução geral (com constante de integração).
Passo 2
Vamos separar as variáveis (colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro) para poder integrar. Antes de fazer a separação, explico o que significa separar variáveis: é rearranjar a equação de modo a obter algo do tipo
. A partir daí integramos ambos os lados:
.
Aplicando isso na nossa equação, começamos multiplicando ambos os lados por
e por
(operações permitidas enquanto não estivermos em pontos singulares):
Aqui eu usei que
é o diferencial de
e
o diferencial de
. Agora observe que o lado direito pode ser simplificado usando divisão:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
- A integral de
em relação a é . Isso vem da derivada . - A integral de
em relação a é . Lembre que aparece porque a integral de exige o valor absoluto para cobrir . - A integral de
em relação a é .
Portanto:
Passo 4
Calculemos as integrais explicitamente:
Igualando as duas integrais e reunindo as constantes de integração num único
(pois
e
são constantes arbitrárias, podemos escrever
), obtemos a forma implícita da solução geral:
Passo 5
Isolando
e reescrevendo a constante (troca de sinal), obtemos uma forma mais comum:
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é a solução implícita. Se quisermos isolar
, aplicamos a função
:
Aqui explico o significado de cada símbolo:
-
é a constante de integração (determina a família de soluções). -
existe só para . -
devolve valores no intervalo principal ; em geral, mais ramos podem ser considerados somando múltiplos de ou trocando sinal conforme a condição inicial, mas sem condição inicial a expressão acima dá a solução explícita principal.
Passo 6
Verificação rápida (importantíssima na prova): derivando implicitamente a forma
temos, pela regra da cadeia,
. Multiplicando por
:
que dá exatamente
logo a solução está correta (no domínio onde tudo é válido).
Passo 7
Observações sobre domínio e singularidades (úteis na prova):
-
não pode ser porque aparece e . -
não pode ser zero nas etapas em que dividimos por ela; portanto as soluções não podem atravessar valores (com ) sem considerar ramos constantes particulares (note: não é solução aqui porque substituindo na EDO o lado direito fica indefinido; então só consideramos soluções com ). - Sem condição inicial, deixamos a constante
livre; com uma condição inicial teríamos .
Força — você já tem a solução geral e sabe checar. Respira fundo: está no caminho certo!