Resolva as Edos de variáveis separaveis.
\frac{d y}{d x}=\frac{1+x^{2}}{x \operatorname{sen}(y)}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{1+x^{2}}{x\,\operatorname{sen}(y)}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{d y}{d x} com x e y.
  • No lado direito aparece \operatorname{sen}(y) no denominador e x também no denominador, portanto devemos ter cuidado com pontos onde \operatorname{sen}(y)=0 ou x=0.
  • Não foi dada condição inicial, então procuramos a solução geral (com constante de integração).

Passo 2

Vamos separar as variáveis (colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro) para poder integrar. Antes de fazer a separação, explico o que significa separar variáveis: é rearranjar a equação de modo a obter algo do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx. A partir daí integramos ambos os lados: \int g(y)\,dy = \int h(x)\,dx + C.
Aplicando isso na nossa equação, começamos multiplicando ambos os lados por \operatorname{sen}(y) e por dx (operações permitidas enquanto não estivermos em pontos singulares):
\operatorname{sen}(y)\,dy = \frac{1+x^{2}}{x}\,dx.
Aqui eu usei que dx é o diferencial de x e dy o diferencial de y. Agora observe que o lado direito pode ser simplificado usando divisão:
\frac{1+x^{2}}{x} = \frac{1}{x} + x.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • A integral de \operatorname{sen}(y) em relação a y é -\cos(y). Isso vem da derivada \dfrac{d}{dy}\cos(y) = -\sin(y).
  • A integral de \dfrac{1}{x} em relação a x é \ln|x|. Lembre que \ln|x| aparece porque a integral de 1/x exige o valor absoluto para cobrir x<0.
  • A integral de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}.
Portanto:
\int \operatorname{sen}(y)\,dy = \int\left(\frac{1}{x}+x\right)dx.

Passo 4

Calculemos as integrais explicitamente:
\int \operatorname{sen}(y)\,dy = -\cos(y) + C_1,
\int\left(\frac{1}{x}+x\right)dx = \int\frac{1}{x}dx + \int x\,dx = \ln|x| + \frac{x^{2}}{2} + C_2.
Igualando as duas integrais e reunindo as constantes de integração num único C (pois C_1 e C_2 são constantes arbitrárias, podemos escrever C=C_2-C_1), obtemos a forma implícita da solução geral:
-\cos(y) = \ln|x| + \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Isolando \cos(y) e reescrevendo a constante (troca de sinal), obtemos uma forma mais comum:
\cos(y) = -\ln|x| - \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária real. Esta é a solução implícita. Se quisermos isolar y, aplicamos a função \operatorname{arccos}:
y(x)=\operatorname{arccos}\!\left(C - \ln|x| - \frac{x^{2}}{2}\right).
Aqui explico o significado de cada símbolo:
  • C é a constante de integração (determina a família de soluções).
  • \ln|x| existe só para x\neq 0.
  • \operatorname{arccos} devolve valores no intervalo principal [0,\pi]; em geral, mais ramos podem ser considerados somando múltiplos de 2\pi ou trocando sinal conforme a condição inicial, mas sem condição inicial a expressão acima dá a solução explícita principal.

Passo 6

Verificação rápida (importantíssima na prova): derivando implicitamente a forma
\cos(y) = -\ln|x| - \frac{x^{2}}{2} + C
temos, pela regra da cadeia, -\sin(y)\,\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} - x. Multiplicando por -1:
\sin(y)\,\dfrac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + x = \frac{1+x^{2}}{x},
que dá exatamente
\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^{2}}{x\,\sin(y)},
logo a solução está correta (no domínio onde tudo é válido).

Passo 7

Observações sobre domínio e singularidades (úteis na prova):
  • x não pode ser 0 porque aparece \dfrac{1}{x} e \ln|x|.
  • \operatorname{sen}(y) não pode ser zero nas etapas em que dividimos por ela; portanto as soluções não podem atravessar valores y=k\pi (com k\in\mathbb{Z}) sem considerar ramos constantes particulares (note: y\equiv k\pi não é solução aqui porque substituindo na EDO o lado direito fica indefinido; então só consideramos soluções com \sin(y)\neq 0).
  • Sem condição inicial, deixamos a constante C livre; com uma condição inicial (x_0,y_0) teríamos C=\cos(y_0)+\ln|x_0|+\dfrac{x_0^{2}}{2}.
Força — você já tem a solução geral e sabe checar. Respira fundo: está no caminho certo!

Resposta

\cos(y)+\ln|x|+\frac{x^{2}}{2}=C
y(x)=\operatorname{arccos}\!\left(C-\ln|x|-\frac{x^{2}}{2}\right),\quad x\neq 0,\\ \sin(y)\neq 0

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