Exemplos: Encontre as integrais indefinidas a seguir:
\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-9 x^{2}\right) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x}} - 9x^{2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a regra da potência para integrar funções do tipo x^{n}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos \frac{1}{\sqrt{x}} como potência de x:
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac12}.
Logo a integral fica
\int x^{-\tfrac12}\,dx \;-\; \int 9x^{2}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da potência em \int x^{-\tfrac12}\,dx, ou seja,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
com n = -\tfrac12, obtemos
\int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2x^{\tfrac12}.

Passo 4

Agora, em \int 9x^{2}\,dx, podemos colocar o 9 fora da integral e usar a mesma regra com n=2:
\int 9x^{2}\,dx = 9\int x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3} = 3x^{3}.
Como o sinal era negativo, temos -3x^{3}.

Resposta

2x^{\tfrac12} - 3x^{3} + C.

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