Exemplos de integral como área sob a função:
e) \int_{0}^{1}(-x) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(-x)\,dx
interpretando-a como área sob a curva de f(x)=-x no intervalo [0,1]. Para isso, vamos usar a interpretação geométrica de área e depois confirmar por antiderivada.

Passo 2

A função f(x)=-x é uma reta que passa por (0,0) e (1,-1). No intervalo [0,1], todo o gráfico fica abaixo do eixo x, formando um triângulo com base de comprimento 1 e altura de comprimento 1.

Passo 3

A área desse triângulo é
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}) =\tfrac{1}{2}\times1\times1 =\tfrac{1}{2}.Á
Como a função está abaixo do eixo x, a integral toma valor negativo dessa área:
\int_{0}^{1}(-x)\,dx = -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Para confirmar, usamos a antiderivada de -x:
\int(-x)\,dx = -\tfrac{x^{2}}{2} + C.
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\int_{0}^{1}(-x)\,dx =\Bigl[-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =-\tfrac{1^{2}}{2}-\bigl(-\tfrac{0^{2}}{2}\bigr) =-\tfrac{1}{2}.

Resposta

\int_{0}^{1}(-x)\,dx = -\tfrac{1}{2}.

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