Dê exemplos de:
Um operador linear de
em
, tal que dim
seja 2 .
Um operador linear de
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de operador linear
tal que
. Vamos usar conceitos de operadores lineares e o Teorema Núcleo–Imagem (Rank–Nullity).
Passo 2
Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
Para conseguir
precisamos que
, ou seja, a imagem de
seja uma reta em
.
Passo 3
Considere
Esse
é linear. A imagem é o eixo
, logo
. O núcleo é
um plano de dimensão
.
Passo 4
Considere também
Esse
é linear. A imagem é a reta gerada por
, então
. O núcleo é
um plano de dimensão
em
.
Resposta
Um operador linear com
pode ser, por exemplo,