Dê exemplos de:
Um operador linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3}, tal que dim \operatorname{ker} T seja 2 .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que \dim\ker T=2. Vamos usar conceitos de operadores lineares e o Teorema Núcleo–Imagem (Rank–Nullity).

Passo 2

Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = 3.
Para conseguir \dim\ker T=2 precisamos que \dim\operatorname{Im}T=1, ou seja, a imagem de T seja uma reta em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Considere
T(x,y,z) = (x,0,0).
Esse T é linear. A imagem é o eixo x, logo \dim\operatorname{Im}T=1. O núcleo é
\ker T = \{(x,y,z)\mid (x,0,0)=(0,0,0)\} = \{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\},
um plano de dimensão 2.

Passo 4

Considere também
T(x,y,z) = (x+y+z,\;x+y+z,\;x+y+z).
Esse T é linear. A imagem é a reta gerada por (1,1,1), então \dim\operatorname{Im}T=1. O núcleo é
\ker T = \{(x,y,z)\mid x+y+z=0\},
um plano de dimensão 2 em \mathbb{R}^3.

Resposta

Um operador linear com \dim\ker T=2 pode ser, por exemplo,
T(x,y,z) = (x,0,0) \quad\text{ou}\quad T(x,y,z) = (x+y+z,\,x+y+z,\,x+y+z).

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