Dê exemplos de:
Um operador linear que é isomorfismo em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T\colon\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} que seja isomorfismo, ou seja, bijetivo e linear. Em álgebra linear, sabemos que um operador linear dado por uma matriz 4\times4 é isomorfismo se, e somente se, sua matriz na base canônica tem determinante não nulo (logo é invertível).

Passo 2

Um exemplo trivial é o operador identidade I, definido por I(x)=x para todo x\in\mathbb{R}^{4}. Na base canônica, sua matriz é
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(I)=1\neq0, I é invertível e portanto um isomorfismo.

Passo 3

Outro exemplo é o operador diagonal D que multiplica as coordenadas por escalares não nulos, por exemplo
D(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (2x_{1},\,1\cdot x_{2},\,3x_{3},\,-1\cdot x_{4}).
Sua matriz na base canônica é
D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e \det(D)=2\cdot1\cdot3\cdot(-1)=-6\neq0, garantindo que D é um isomorfismo.

Passo 4

Um terceiro exemplo é um operador de permutação de coordenadas, por exemplo
P(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (x_{2},\,x_{1},\,x_{4},\,x_{3}).
A matriz de P na base canônica é
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
e como \det(P)=1\neq0, também é invertível e, portanto, isomorfismo.

Resposta

Como exemplos de operadores lineares isomorfismos em \mathbb{R}^{4}, podemos citar:
  1. O operador identidade I com matriz
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. O operador diagonal D com matriz
D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
  1. O operador de permutação P com matriz
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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