Diga se as funções abaixo são polinômios. Derive aquelas que você souber derivar.
f(x)=2 x raiz5 x^3-1-2 x^2x

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=2xraiz5x^3-1-2x^2x. O conteúdo envolvido é reconhecimento de polinômios (expoentes devem ser inteiros não negativos) e aplicação da regra de potência para derivação. Vamos usar propriedades de radicais, regras de expoentes e a regra básica (x^n)'=n x^n-1.

Passo 2

Reescrevendo a parte com raiz como potência fracionária:
f(x)=2xraiz5x^3-1-2x^2x =2xcdotraiz5,x^3/2-l(x^-1-2xr) =2raiz5,x^5/2-x^-1+2x

Passo 3

Para ser um polinômio, todos os expoentes de x devem ser inteiros não negativos. Aqui temos expoentes 5/2 e -1, que não são inteiros não negativos. Logo, f(x) NÃO é um polinômio.

Passo 4

Derivando termo a termo usando (x^n)'=n x^n-1:
ddxl(2raiz5,x^5/2r)=2raiz5cdot52x^3/2=5raiz5,x^3/2,
ddx(-x^-1)=-(-1)x^-2=x^-2,
ddx(2x)=2

Passo 5

Juntando os resultados, obtemos
f'(x)=5raiz5,x^3/2+x^-2+2

Resposta

A função f(x) não é um polinômio; sua derivada é f'(x)=5raiz5,x^3/2+x^-2+2.

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