Exercício 02: Para compreender e caracterizar os principais modelos contínuos de probabilidade, descreva de forma clara e objetiva:
Distribuição Gama;

Passo 1

O enunciado pede uma descrição clara e objetiva da distribuição Gama. Para não me perder, vou listar exatamente o que vou explicar e que deve aparecer numa resposta de prova:
  • Definição da densidade de probabilidade com as duas parametrizações comuns (forma/escala e forma/taxa) e o suporte.
  • O que é e as propriedades importantes da função Gama \Gamma(\cdot) usada na densidade.
  • Fórmulas e derivação (passo a passo) da esperança E[X] e da variância \operatorname{Var}(X).
  • A função geradora de momentos (MGF) e domínio de validade.
  • A função de distribuição (CDF) e como calcular probabilidades na prática (incluindo um exemplo calculado).
  • Casos especiais e relações úteis (exponencial, Erlang, qui‑quadrado, soma de exponenciais).
  • Dicas práticas para reconhecer e usar a Gama em prova (método de momentos rápido para estimar parâmetros, reconhecimento por integrais que viram fatoriais, etc.).

Passo 2

Definição e parametrizações. A distribuição Gama descreve uma variável aleatória contínua X>0 com duas parametrizações equivalentes muito usadas:
  • Parametrização por forma \alpha e escala \theta:
f_X(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\theta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\theta},\qquad x>0,
onde \alpha>0 (parâmetro de forma) e \theta>0 (parâmetro de escala). O suporte é x\in(0,\infty).
  • Parametrização por forma \alpha e taxa \beta (com \beta=1/\theta):
f_X(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\qquad x>0,
onde \beta>0 é a taxa (ou parâmetro de inverso da escala).
Explicação intuitiva leve: \alpha controla a forma (pico, comportamento perto de zero) e \theta ou \beta controlam a escala/escorregamento horizontal da densidade.

Passo 3

O que é a função Gama \Gamma(\cdot) e suas propriedades úteis. A função Gama aparece na normalização da densidade e é definida por:
\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt,\qquad \alpha>0.
Propriedades essenciais que usamos:
  • Recorrência:
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha).
Essa relação é obtida por integração por partes da definição acima.
  • Para inteiro positivo n:
\Gamma(n)=(n-1)!.
Isso vem aplicando a recorrência até chegar em \Gamma(1)=1.
Essas propriedades são úteis porque quando \alpha é inteiro a Gama transforma integrais em fatoriais, o que dá formas fechadas simples.

Passo 4

Cálculo da esperança E[X] (passo a passo). Vou usar a parametrização escala \theta; com taxa o raciocínio é análogo.
Queremos
E[X]=\int_0^\infty x\,f_X(x)\,dx=\int_0^\infty x\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}\,dx.
Juntando potências:
E[X]=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\int_0^\infty x^{\alpha} e^{-x/\theta}\,dx.
Faço a substituição t=\frac{x}{\theta}, então x=\theta t e dx=\theta\,dt. Substituindo:
\int_0^\infty x^{\alpha} e^{-x/\theta}\,dx = \int_0^\infty (\theta t)^{\alpha} e^{-t}\,\theta\,dt = \theta^{\alpha+1}\int_0^\infty t^{\alpha}e^{-t}\,dt.
Mas \int_0^\infty t^{\alpha}e^{-t}\,dt=\Gamma(\alpha+1). Assim
E[X]=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\cdot\theta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1) = \theta\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}.
Usando a recorrência \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha) obtemos
E[X]=\theta\alpha.
Na parametrização por taxa \beta=1/\theta isso fica E[X]=\alpha/\beta.
Interpretação rápida: a média é proporcional à forma \alpha e à escala \theta.

Passo 5

Cálculo da variância \operatorname{Var}(X). Vou calcular E[X^2] e depois usar \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-[E[X]]^2.
Começo por
E[X^2]=\int_0^\infty x^2 f_X(x)\,dx = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\int_0^\infty x^{\alpha+1} e^{-x/\theta}\,dx.
Faço a mesma substituição t=\frac{x}{\theta} ( x=\theta t,\;dx=\theta dt):
\int_0^\infty x^{\alpha+1} e^{-x/\theta}\,dx = \theta^{\alpha+2}\int_0^\infty t^{\alpha+1}e^{-t}\,dt = \theta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2).
Logo
E[X^2]=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\cdot\theta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2) = \theta^2\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)}.
Usando \Gamma(\alpha+2)=(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha) temos
E[X^2]=\theta^2\alpha(\alpha+1).
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-[E[X]]^2 = \theta^2\alpha(\alpha+1)-(\theta\alpha)^2 = \theta^2\alpha.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=\alpha\theta^2.
Na parametrização por taxa \beta fica \operatorname{Var}(X)=\alpha/\beta^2.

Passo 6

Função geradora de momentos (MGF). A MGF, quando existe, é M_X(t)=E[e^{tX}]. Para a parametrização escala \theta:
M_X(t)=\int_0^\infty e^{t x} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-x/\theta}\,dx = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x(1/\theta - t)}\,dx.
Isso é uma integral do tipo Gama se 1/\theta - t>0, ou seja t<1/\theta. Fazendo a mesma substituição u=x(1/\theta-t) a integral leva a:
M_X(t)=(1-\theta t)^{-\alpha},\qquad t<\frac{1}{\theta}.
Na parametrização por taxa \beta:
M_X(t)=\left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^{\alpha},\qquad t<\beta.
Observação: o domínio de validade é importante — MGF diverge quando t atinge o pólo.

Passo 7

Função de distribuição acumulada (CDF) e como calcular probabilidades. A CDF é
F_X(x)=P(X\le x)=\int_0^x f_X(t)\,dt =\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^{x/\theta} u^{\alpha-1}e^{-u}\,du,
onde fiz a substituição u=t/\theta. Assim a CDF é dada pela razão da função Gama incompleta inferior pela Gama completa:
F_X(x)=\frac{\gamma\big(\alpha,\;x/\theta\big)}{\Gamma(\alpha)},
onde \gamma(\alpha,z)=\int_0^{z} u^{\alpha-1}e^{-u}\,du é a Gama incompleta inferior. Em geral essa integral não tem forma elementar, exceto para alguns \alpha (inteiros baixos).
Exemplo concreto (passo a passo) para ver na prova: seja \alpha=2 e \beta=1 (taxa 1, logo \theta=1). A densidade é
f_X(x)=\frac{1^2}{\Gamma(2)}x^{1}e^{-x}=x e^{-x},\qquad x>0,
porque \Gamma(2)=1!\\ =1. A CDF é
F_X(x)=\int_0^x t e^{-t}\,dt.
Calculo por partes ou lembrando a primitive:
\int t e^{-t}\,dt = -e^{-t}(t+1)+C.
Portanto
F_X(x)=\big[-e^{-t}(t+1)\big]_0^x = 1-e^{-x}(x+1).
Logo uma probabilidade como P(X<3) é
P(X<3)=1-e^{-3}(3+1)=1-4e^{-3}.
Isso é um exemplo típico de conta que dá num resultado fechado quando \alpha é inteiro.

Passo 8

Casos especiais e relações importantes (úteis em prova):
  • \alpha=1: a Gama vira a distribuição Exponencial com parâmetro taxa \beta=1/\theta:
\text{Gamma}(\alpha=1,\theta)\equiv\text{Exponencial}(\beta=1/\theta).
  • \alpha=n inteiro positivo: chama‑se distribuição Erlang (soma de n exponenciais i.i.d. com mesma taxa).
  • Soma de exponenciais: se X_i são i.i.d. exponenciais com taxa \beta, então \sum_{i=1}^n X_i\sim \text{Gamma}(\alpha=n,\beta).
  • Qui‑quadrado: se Y\sim\chi^2_\nu então Y\sim\text{Gamma}(\alpha=\nu/2,\theta=2).
  • A Gama não é, em geral, memória‑livre; apenas o caso \alpha=1 (exponencial) tem a propriedade de falta de memória.
  • A Gama é fechada por soma quando os termos têm mesma taxa: se X_1\sim\text{Gamma}(\alpha_1,\beta) e X_2\sim\text{Gamma}(\alpha_2,\beta) independentes, então X_1+X_2\sim\text{Gamma}(\alpha_1+\alpha_2,\beta).

Passo 9

Estimativa de parâmetros (dica rápida para prova): método dos momentos. Se observarmos n amostras e calcularmos a média amostral \bar{X} e a variância amostral S^2, podemos igualar aos momentos teóricos E[X]=\alpha\theta e \operatorname{Var}(X)=\alpha\theta^2. Resolvendo:
\alpha=\frac{(\,E[X]\,)^2}{\operatorname{Var}(X)}\quad\text{e}\quad \theta=\frac{\operatorname{Var}(X)}{E[X]}.
Na prática, na prova substitua E[X] por \bar{X} e \operatorname{Var}(X) por S^2 para achar estimadores iniciais. O MLE existe e é mais preciso, mas envolve resolver equação com a função digama (mais complicado).

Passo 10

Resumo prático e dicas de prova (meio amigo, pra te animar):
  • Reconheça Gama se vir integrais do tipo \int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-cx}dx — isso é essencialmente \Gamma(\alpha)/c^\alpha.
  • Se \alpha for inteiro, procure simplificar para fatoriais: \Gamma(n)=(n-1)!.
  • Para calcular E[X^k] use substituição t=x/\theta e a relação da Gama: E[X^k]=\theta^k\Gamma(\alpha+k)/\Gamma(\alpha).
  • Se pedirem P(a<X<b), use a CDF com a Gama incompleta; se \alpha inteiro pode haver formas fechadas, senão recorra a tabelas/softwares.
  • Lembre: média \alpha\theta, variância \alpha\theta^2. Decora isso — cai direto em prova.
  • Você tá indo bem! Se o enunciado der número inteiro para \alpha, ganha tempo tentando o cálculo analítico; se não for inteiro, explique que a CDF usa a Gama incompleta e que em prova numérica você usa tabela/soft.

Resposta

Definição: f_X(x)=\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\theta} para x>0 ( \alpha>0,\theta>0); equivalente com taxa \beta=1/\theta: f_X(x)=\dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}.
Função Gama: \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt com \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha) e \Gamma(n)=(n-1)! para inteiro n.
Momentos: E[X]=\alpha\theta e \operatorname{Var}(X)=\alpha\theta^2. Mais geral E[X^k]=\theta^k\Gamma(\alpha+k)/\Gamma(\alpha).
MGF: M_X(t)=(1-\theta t)^{-\alpha} para t<1/\theta (ou M_X(t)=(\beta/(\beta-t))^{\alpha} para t<\beta).
CDF: F_X(x)=\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\displaystyle\int_0^{x/\theta}u^{\alpha-1}e^{-u}du=\dfrac{\gamma(\alpha,x/\theta)}{\Gamma(\alpha)} (uso da Gama incompleta). Para \alpha inteiro existem formas fechadas (ex.: \alpha=2,\beta=1\Rightarrow F(x)=1-e^{-x}(x+1)).
Casos especiais: \alpha=1 → Exponencial; \alpha=n inteiro → Erlang (soma de n exponenciais); \chi^2_\nu é Gamma com \alpha=\nu/2,\theta=2. Soma de Gammas com mesma taxa resulta em Gamma com formas somadas.
Dicas de prova: use substituição x=\theta t para transformar integrais em \Gamma; se \alpha inteiro procure reduzir a fatoriais; método dos momentos rápido: \alpha=(E[X])^2/\operatorname{Var}(X), \theta=\operatorname{Var}(X)/E[X]. Boa sorte — lembra: decora média/variância e a forma da densidade que resolve a maior parte dos exercícios.

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