Exercício 02: Para compreender e caracterizar os principais modelos contínuos de probabilidade, descreva de forma clara e objetiva:
Distribuição Gama Inversa;
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva, de forma clara e objetiva, a Distribuição Gama Inversa. Vou enumerar o que vou informar sobre ela: definição (pdf e suporte), parâmetros e significado, como obter a pdf a partir da Gama, momentos (quando existem) e fórmulas do valor esperado e da variância, função de distribuição acumulada (em termos da função gama incompleta), propriedades úteis (moda, cauda pesada, inexistência de MGF), relações com outras distribuições, como gerar amostras, usos práticos e um exemplo numérico simples. Não começo a resolver/derivar aqui; só explico o que será entregue.
Passo 2
Definição e pdf (derivação pela transformação): comece lembrando a pdf da distribuição Gama no parâmetro forma-taxa. Se Y tem distribuição Gama com parâmetro de forma \alpha>0 e parâmetro de taxa \beta>0, então
Aqui \alpha>0 é chamado de parâmetro de forma (shape) e \beta>0 é parâmetro de escala no sentido inverso (algumas pessoas chamam de parâmetro de escala; outras usam parâmetro de taxa \beta — cuidado com diferentes convenções).
Passo 3
Suporte, interpretação dos parâmetros e variantes de parametrização: a distribuição está definida para x>0. O parâmetro \alpha controla a forma e as potências em x (influencia cauda e existência de momentos); \beta regula a escala (posiciona a massa da densidade). Uma alternativa comum é escrever usando escala \theta em vez de \beta (por exemplo \beta=1/\theta em algumas convenções) — sempre verifique no enunciado qual parametrização foi adotada.
Passo 4
Cálculo dos momentos gerais e condições de existência: para obter o momento de ordem k de X (quando existir), compute
Faça a mudança de variável u=\beta/x (então x=\beta/u e dx=-\beta u^{-2}du) para transformar a integral numa integral de forma gama. Após simplificar chega-se à expressão fechada
Se \alpha\le 1, a média não existe (diverge). Se 1<\alpha\le 2, a média existe mas a variância não.
Passo 5
Moda, comportamento da cauda e MGF: a moda (valor que maximiza a densidade) obtém-se anulando a derivada de f_X(x). Isso dá
\boxed{\,\text{modo}=\frac{\beta}{\alpha+1}\,}.
Para x\to\infty a densidade tem decaimento polinomial:
f_X(x)\sim C\,x^{-\alpha-1},
o que significa cauda pesada (heavy-tail) para \alpha pequeno. A função geradora de momentos (MGF) M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}] não existe (é infinita) para t>0 na maior parte dos casos, porque os momentos de ordem arbitrária não existem a menos que \alpha seja suficientemente grande; em geral dizemos que não há MGF finita em um entorno de 0.
Passo 6
Função de distribuição acumulada (CDF) em termos da função gama incompleta: usando a relação com a Gama, pode-se escrever a CDF como
com \gamma a gama inferior incompleta. Em provas, basta lembrar que o CDF é expressável via as funções de gama incompleta e derivá-la pela transformação.
Passo 7
Relações com outras distribuições e amostragem: se Y\sim\operatorname{Gamma}(\alpha,\beta) então X=1/Y\sim\operatorname{InvGamma}(\alpha,\beta). Para amostrar X numericamente, gere Y como Gamma e devolva X=1/Y. A Gama Inversa também está ligada à distribuição Inverse-chi-square (uma parametrização especial) e é conjugada para variância em modelos normais: se X_1,\dots,X_n são normais com variância \sigma^{2} desconhecida e você assume uma priori \sigma^{2}\sim\operatorname{InvGamma}(\alpha,\beta), então a posteriori \sigma^{2} continua numa família Gama Inversa (o que facilita cálculo bayesiano).
Passo 8
Exemplo numérico e interpretação prática rápida: tome \alpha=3 e \beta=2. As fórmulas dão
e a moda é \beta/(\alpha+1)=2/4=0{,}5. Interpretação prática: a Gama Inversa é útil quando modelamos variâncias, tempos que são reciprocamente relacionados a uma taxa ou quando precisamos de uma priori com cauda relativamente pesada para variância.
Passo 9
Dicas para a prova (práticas e o que memorizar): memorize a forma da pdf
memorize as condições para média (\alpha>1) e variância (\alpha>2), e saiba derivar a pdf a partir da Gama por transformação X=1/Y — isso é frequentemente pedido. Lembre das aplicações bayesianas (conjugação para variância) e da geracão simples por X=1/Y com Y Gamma.
Resposta
Definição: f_X(x)=\dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{-\alpha-1}e^{-\beta/x} para x>0, com \alpha>0 (forma) e \beta>0 (escala/paro inverso).\nMomentos gerais: \mathbb{E}[X^{k}]=\beta^{k}\dfrac{\Gamma(\alpha-k)}{\Gamma(\alpha)} quando \alpha>k.\nMédia: \mathbb{E}[X]=\dfrac{\beta}{\alpha-1} para \alpha>1.\nVariância: \mathbb{V}[X]=\dfrac{\beta^{2}}{(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)} para \alpha>2.\nModa: \dfrac{\beta}{\alpha+1}.\nCDF: F_X(x)=\dfrac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} (em termos da gama superior incompleta).\nPropriedades: cauda pesada (decai como x^{-\alpha-1}), sem MGF finita em geral; é obtida por transformação X=1/Y com Y\sim\operatorname{Gamma}(\alpha,\beta) e é conjugada como priori para variância em modelos normais.