Exercício 02: Para compreender e caracterizar os principais modelos contínuos de probabilidade, descreva de forma clara e objetiva:
Distribuição Gama Inversa;

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva, de forma clara e objetiva, a Distribuição Gama Inversa. Vou enumerar o que vou informar sobre ela: definição (pdf e suporte), parâmetros e significado, como obter a pdf a partir da Gama, momentos (quando existem) e fórmulas do valor esperado e da variância, função de distribuição acumulada (em termos da função gama incompleta), propriedades úteis (moda, cauda pesada, inexistência de MGF), relações com outras distribuições, como gerar amostras, usos práticos e um exemplo numérico simples. Não começo a resolver/derivar aqui; só explico o que será entregue.

Passo 2

Definição e pdf (derivação pela transformação): comece lembrando a pdf da distribuição Gama no parâmetro forma-taxa. Se Y tem distribuição Gama com parâmetro de forma \alpha>0 e parâmetro de taxa \beta>0, então
f_{Y}(y)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,y^{\alpha-1}e^{-\beta y},\qquad y>0.
Agora faça a transformação X=1/Y. Para transformar densidades, usamos a regra da mudança de variável: se X=g(Y) é monótona e diferenciável, então
f_X(x)=f_Y(g^{-1}(x))\left|\frac{d}{dx}g^{-1}(x)\right|.
No nosso caso g(y)=1/y e g^{-1}(x)=1/x. A derivada é \frac{d}{dx}(1/x)=-1/x^{2}, e o valor absoluto é 1/x^{2}. Substituindo:
f_X(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha-1}e^{-\beta(1/x)}\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Agrupando potências de x obtemos a forma padrão da Gama Inversa:
\boxed{\,f_X(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{-\alpha-1}e^{-\beta/x},\qquad x>0\,}
Aqui \alpha>0 é chamado de parâmetro de forma (shape) e \beta>0 é parâmetro de escala no sentido inverso (algumas pessoas chamam de parâmetro de escala; outras usam parâmetro de taxa \beta — cuidado com diferentes convenções).

Passo 3

Suporte, interpretação dos parâmetros e variantes de parametrização: a distribuição está definida para x>0. O parâmetro \alpha controla a forma e as potências em x (influencia cauda e existência de momentos); \beta regula a escala (posiciona a massa da densidade). Uma alternativa comum é escrever usando escala \theta em vez de \beta (por exemplo \beta=1/\theta em algumas convenções) — sempre verifique no enunciado qual parametrização foi adotada.

Passo 4

Cálculo dos momentos gerais e condições de existência: para obter o momento de ordem k de X (quando existir), compute
\mathbb{E}[X^{k}]=\int_{0}^{\infty} x^{k}\,f_X(x)\,dx =\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty} x^{k-\alpha-1}e^{-\beta/x}\,dx.
Faça a mudança de variável u=\beta/x (então x=\beta/u e dx=-\beta u^{-2}du) para transformar a integral numa integral de forma gama. Após simplificar chega-se à expressão fechada
\boxed{\,\mathbb{E}[X^{k}]=\beta^{k}\frac{\Gamma(\alpha-k)}{\Gamma(\alpha)}\,}
desde que \alpha>k (essa condição garante que \Gamma(\alpha-k) seja finita). Em particular:
  • Para o valor esperado ( k=1), quando \alpha>1,
\boxed{\,\mathbb{E}[X]=\frac{\beta}{\alpha-1}\,}
  • Para a variância (é preciso \alpha>2), usando \mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[X^{2}]-\mathbb{E}[X]^{2}, obtemos
\boxed{\,\mathbb{V}[X]=\frac{\beta^{2}}{(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)}\,}
Se \alpha\le 1, a média não existe (diverge). Se 1<\alpha\le 2, a média existe mas a variância não.

Passo 5

Moda, comportamento da cauda e MGF: a moda (valor que maximiza a densidade) obtém-se anulando a derivada de f_X(x). Isso dá
\boxed{\,\text{modo}=\frac{\beta}{\alpha+1}\,}.
Para x\to\infty a densidade tem decaimento polinomial:
f_X(x)\sim C\,x^{-\alpha-1},
o que significa cauda pesada (heavy-tail) para \alpha pequeno. A função geradora de momentos (MGF) M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}] não existe (é infinita) para t>0 na maior parte dos casos, porque os momentos de ordem arbitrária não existem a menos que \alpha seja suficientemente grande; em geral dizemos que não há MGF finita em um entorno de 0.

Passo 6

Função de distribuição acumulada (CDF) em termos da função gama incompleta: usando a relação com a Gama, pode-se escrever a CDF como
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\mathbb{P}\Big(Y\ge\frac{1}{x}\Big)=\frac{\Gamma\!\big(\alpha,\beta/x\big)}{\Gamma(\alpha)},
onde \Gamma(s,t)=\int_{t}^{\infty}u^{s-1}e^{-u}du é a função gama superior incompleta. Equivalentemente
F_X(x)=1-\frac{\gamma\!\big(\alpha,\beta/x\big)}{\Gamma(\alpha)},
com \gamma a gama inferior incompleta. Em provas, basta lembrar que o CDF é expressável via as funções de gama incompleta e derivá-la pela transformação.

Passo 7

Relações com outras distribuições e amostragem: se Y\sim\operatorname{Gamma}(\alpha,\beta) então X=1/Y\sim\operatorname{InvGamma}(\alpha,\beta). Para amostrar X numericamente, gere Y como Gamma e devolva X=1/Y. A Gama Inversa também está ligada à distribuição Inverse-chi-square (uma parametrização especial) e é conjugada para variância em modelos normais: se X_1,\dots,X_n são normais com variância \sigma^{2} desconhecida e você assume uma priori \sigma^{2}\sim\operatorname{InvGamma}(\alpha,\beta), então a posteriori \sigma^{2} continua numa família Gama Inversa (o que facilita cálculo bayesiano).

Passo 8

Exemplo numérico e interpretação prática rápida: tome \alpha=3 e \beta=2. As fórmulas dão
\mathbb{E}[X]=\frac{2}{3-1}=1,\qquad \mathbb{V}[X]=\frac{4}{(2)^{2}(1)}=1,
e a moda é \beta/(\alpha+1)=2/4=0{,}5. Interpretação prática: a Gama Inversa é útil quando modelamos variâncias, tempos que são reciprocamente relacionados a uma taxa ou quando precisamos de uma priori com cauda relativamente pesada para variância.

Passo 9

Dicas para a prova (práticas e o que memorizar): memorize a forma da pdf
f_X(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{-\alpha-1}e^{-\beta/x},\\ x>0,
memorize as condições para média ( \alpha>1) e variância ( \alpha>2), e saiba derivar a pdf a partir da Gama por transformação X=1/Y — isso é frequentemente pedido. Lembre das aplicações bayesianas (conjugação para variância) e da geracão simples por X=1/Y com Y Gamma.

Resposta

Definição: f_X(x)=\dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{-\alpha-1}e^{-\beta/x} para x>0, com \alpha>0 (forma) e \beta>0 (escala/paro inverso).\nMomentos gerais: \mathbb{E}[X^{k}]=\beta^{k}\dfrac{\Gamma(\alpha-k)}{\Gamma(\alpha)} quando \alpha>k.\nMédia: \mathbb{E}[X]=\dfrac{\beta}{\alpha-1} para \alpha>1.\nVariância: \mathbb{V}[X]=\dfrac{\beta^{2}}{(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)} para \alpha>2.\nModa: \dfrac{\beta}{\alpha+1}.\nCDF: F_X(x)=\dfrac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} (em termos da gama superior incompleta).\nPropriedades: cauda pesada (decai como x^{-\alpha-1}), sem MGF finita em geral; é obtida por transformação X=1/Y com Y\sim\operatorname{Gamma}(\alpha,\beta) e é conjugada como priori para variância em modelos normais.

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