Exercicio 05: Demonstre por tabelas-verdade que os três conectivos
e
exprimen-w ens fumas do conectivo ↑ de SCHEFFER do seguinte modo,
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, por tabelas-verdade, as seguintes equivalências usando o conectivo de Sheffer
:
- (a)
. - (b)
.
Informações relevantes que temos (essas são as coisas que vamos usar nas tabelas):
- O conectivo de Sheffer
vale verdadeiro exatamente quando não ocorre que e sejam ambos verdadeiros; equivalente logicamente a . - Para montar uma tabela-verdade precisamos listar todas as combinações possíveis de valores de verdade das proposições atômicas (
, ) e calcular, em colunas, os valores de cada expressão intermediária e final. - Os valores de verdade que usarei nas tabelas são
(verdadeiro) e (falso).
Passo 2
Pequena explicação sobre tabela-verdade e como avaliar
:
- Uma tabela-verdade lista todas as combinações possíveis dos valores de
(e quando houver). Para uma proposição simples há duas linhas: e . Para duas proposições há quatro linhas: . - Para cada linha calculamos o valor de cada subfórmula. Lembre-se que
ou seja, é somente quando e são ambos ; em qualquer outro caso é . - Também útil:
(isso já antecipa a parte (a), mas vamos confirmar por tabela).
Passo 3
Tabela-verdade para a parte (a): comparar
e
.
Explicando linha a linha:
- Se
: então , logo . E . Ambos dão . - Se
: então , logo . E . Ambos dão .
Como as colunas correspondentes têm os mesmos valores para todas as linhas, concluímos que
e
são logicamente equivalentes.
Passo 4
Conclusão da parte (a) (explicação curta para gravar na prova):
- A tabela mostra que em todas as possíveis atribuições de verdade
e têm valores idênticos a . Portanto
Passo 5
Tabela-verdade para a parte (b): comparar
e
.
Vou criar colunas intermediárias
(que já sabemos ser
) e
(que é
), e então a coluna final
.
Detalhando como se obteve cada coluna:
- Coluna
: é . Assim, para dá ; para dá . - Coluna
: é . Analogamente. - Coluna
: aplica-se a definição de às duas colunas anteriores; é (isto pode ser visto via De Morgan, mas a tabela-verdade confirma). - Coluna
: valores padrão da disjunção.
Observando a tabela, a coluna de
coincide linha a linha com a coluna de
.
Passo 6
Conclusão da parte (b) (explicação curta para gravar na prova):
- A tabela mostra que para todas as combinações de
as duas fórmulas têm o mesmo valor de verdade. Logo