Exercicio 05: Demonstre por tabelas-verdade que os três conectivos \sim \vee e \wedge exprimen-w ens fumas do conectivo ↑ de SCHEFFER do seguinte modo,
a) \sim p \Leftrightarrow p \uparrow p
b) p \vee q \Leftrightarrow(p \uparrow p) \uparrow(q \uparrow q)

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, por tabelas-verdade, as seguintes equivalências usando o conectivo de Sheffer \uparrow:
  • (a) \neg p \Leftrightarrow p \uparrow p.
  • (b) p \vee q \Leftrightarrow (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q).
Informações relevantes que temos (essas são as coisas que vamos usar nas tabelas):
  • O conectivo de Sheffer p \uparrow q vale verdadeiro exatamente quando não ocorre que p e q sejam ambos verdadeiros; equivalente logicamente a \neg (p \wedge q).
  • Para montar uma tabela-verdade precisamos listar todas as combinações possíveis de valores de verdade das proposições atômicas ( p, q) e calcular, em colunas, os valores de cada expressão intermediária e final.
  • Os valores de verdade que usarei nas tabelas são V (verdadeiro) e F (falso).

Passo 2

Pequena explicação sobre tabela-verdade e como avaliar p \uparrow q:
  • Uma tabela-verdade lista todas as combinações possíveis dos valores de p (e q quando houver). Para uma proposição simples p há duas linhas: p=V e p=F. Para duas proposições p,q há quatro linhas: (V,V),(V,F),(F,V),(F,F).
  • Para cada linha calculamos o valor de cada subfórmula. Lembre-se que p \uparrow q \equiv \neg (p \wedge q),ou seja, p \uparrow q é F somente quando p e q são ambos V; em qualquer outro caso é V.
  • Também útil: p\uparrow p = \neg(p\wedge p)=\neg p (isso já antecipa a parte (a), mas vamos confirmar por tabela).

Passo 3

Tabela-verdade para a parte (a): comparar \neg p e p \uparrow p.
\begin{array}{c|c|c} p & p \uparrow p & \neg p \\hline V & F & F \\\ F & V & V \end{array}
Explicando linha a linha:
  • Se p=V: então p\wedge p = V, logo p \uparrow p = \neg (p\wedge p)=\neg V = F. E \neg p = F. Ambos dão F.
  • Se p=F: então p\wedge p = F, logo p \uparrow p = \neg F = V. E \neg p = V. Ambos dão V.
Como as colunas correspondentes têm os mesmos valores para todas as linhas, concluímos que \neg p e p \uparrow p são logicamente equivalentes.

Passo 4

Conclusão da parte (a) (explicação curta para gravar na prova):
  • A tabela mostra que em todas as possíveis atribuições de verdade p e p \uparrow p têm valores idênticos a \neg p. Portanto \neg p \Leftrightarrow p \uparrow p.

Passo 5

Tabela-verdade para a parte (b): comparar p \vee q e (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q).
Vou criar colunas intermediárias p \uparrow p (que já sabemos ser \neg p) e q \uparrow q (que é \neg q), e então a coluna final (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q).
\begin{array}{c c|c|c|c|c} p & q & p \uparrow p & q \uparrow q & (p \uparrow p)\uparrow (q \uparrow q) & p \vee q\\hline V & V & F & F & V & V\\\ V & F & F & V & V & V\\\ F & V & V & F & V & V\\\ F & F & V & V & F & F \end{array}
Detalhando como se obteve cada coluna:
  • Coluna p \uparrow p: é \neg p. Assim, para p=V F; para p=F V.
  • Coluna q \uparrow q: é \neg q. Analogamente.
  • Coluna (p \uparrow p)\uparrow (q \uparrow q): aplica-se a definição de \uparrow às duas colunas anteriores; é \neg\big((p\uparrow p)\wedge(q\uparrow q)\big)=\neg(\neg p\wedge\neg q)=p\vee q (isto pode ser visto via De Morgan, mas a tabela-verdade confirma).
  • Coluna p\vee q: valores padrão da disjunção.
Observando a tabela, a coluna de (p \uparrow p)\uparrow (q \uparrow q) coincide linha a linha com a coluna de p\vee q.

Passo 6

Conclusão da parte (b) (explicação curta para gravar na prova):
  • A tabela mostra que para todas as combinações de p,q as duas fórmulas têm o mesmo valor de verdade. Logo p \vee q \Leftrightarrow (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q).

Resposta

\neg p \Leftrightarrow p \uparrow p
p \vee q \Leftrightarrow (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q)

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