Exercício 06: Sabendo que as proposiçōes p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa. determinar o valor lógico ( V ou F ) das seguintes proposições:
(\neg p \uparrow \neg q) \Leftrightarrow((q \downarrow r) \downarrow p)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já peguei estes valores do enunciado):
  • p é verdadeira (ou seja, p = V).
  • q é verdadeira (ou seja, q = V).
  • r é falsa (ou seja, r = F).
O que se pede: determinar o valor lógico ( V ou F ) da proposição
(\neg p \uparrow \neg q) \Leftrightarrow ((q \downarrow r) \downarrow p).

Passo 2

Vou recordar o significado dos conectivos envolvidos, de forma bem prática:
  • Negação: \neg A é verdadeira quando A é falsa, e falsa quando A é verdadeira.
    • Ex.: se A=V então \neg A = F; se A=F então \neg A = V.
  • Conjunção (uso só para interpretar \uparrow): A\land B é V somente quando A=V e B=V; caso contrário é F.
  • Disjunção (uso só para interpretar \downarrow): A\lor B é V se pelo menos um dos dois for V; é F somente quando ambos são F.
  • NAND (Sheffer stroke): A \uparrow B é por definição \neg(A\land B).
    • Ou seja, A \uparrow B é F apenas quando A\land B é V (isto é, apenas quando A=V e B=V); em todos os outros casos A \uparrow B = V.
  • NOR (Peirce arrow): A \downarrow B é por definição \neg(A\lor B).
    • Ou seja, A \downarrow B é V apenas quando A=F e B=F; em todos os outros casos A \downarrow B = F.
  • Bicondicional: X \Leftrightarrow Y é V quando X e Y têm o mesmo valor lógico (ambos V ou ambos F); é F quando têm valores diferentes.

Passo 3

Calcular as negações simples que aparecem:
  • Como p = V, então \neg p = F.
  • Como q = V, então \neg q = F.
  • (Só para referência) como r = F, então \neg r = V — não será usado diretamente, mas fica registrado.

Passo 4

Avaliar a parte esquerda \neg p \uparrow \neg q.
Lembrando que A \uparrow B = \neg(A\land B).
Substituindo os valores que encontramos:
  • \neg p = F e \neg q = F.
  • Primeiro calcule \neg p \land \neg q = F \land F = F.
  • Agora \neg(\neg p \land \neg q) = \neg F = V.
Portanto
\neg p \uparrow \neg q = V.

Passo 5

Avaliar a parte direita (q \downarrow r) \downarrow p.
Começamos por q \downarrow r. Lembrando A \downarrow B = \neg(A\lor B).
  • q = V e r = F.
  • q \lor r = V \lor F = V.
  • \neg(q \lor r) = \neg V = F.
Logo
q \downarrow r = F.
Agora calcule (q \downarrow r) \downarrow p. Temos q \downarrow r = F e p = V.
  • (q \downarrow r)\lor p = F \lor V = V.
  • \neg\big((q \downarrow r)\lor p\big) = \neg V = F.
Portanto
(q \downarrow r) \downarrow p = F.

Passo 6

Agora juntamos as duas partes no bicondicional:
  • Esquerda: \neg p \uparrow \neg q = V.
  • Direita: (q \downarrow r) \downarrow p = F.
Bicondicional V \Leftrightarrow F é falso porque os lados têm valores diferentes.
Portanto o valor lógico da proposição completa é F.

Resposta

F

Exercícios relacionados